安徽省合肥市2015年高三第二次教学质量检测数学(理)试题 (含解析)

数学试题（理）

第Ⅰ卷（满分50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数（其中是虚数单位），则复数的共轭复数（  ）

A．  B.  C.  D. 

解析： 

∴共轭复数，选A

2.若集合，则（  ）

A.  B.  C.  D. 

解析：或

∴，选C

3.双曲线的离心率是（  ）

A.  B.  C.  D. 

解析：由双曲线方程知

∴，选B

4.某空间几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的弧线为四分之一圆），则该几何体的表面积为（  ）

A.  B.  C.  D. 

解析：由三视图可知，该几何体是底面为圆的柱体

，选C

5.“”是“直线与直线平行”的（  ）

A.充分且不必要条件  B.必要且不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：直线与直线平行，则

解得，∴是充要条件，选C

6.等差数列的前项和为，若，则（  ）

A.28  B.21  C.14  D.7

解析： 

∴，∴，选D

7.已知函数，若果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小正值为（  ）

A.  B.  C.  D. 

解析：，∴

由题意，为最小值，为最大值

则，解得

当时，选B

8.如图所示，程序框图的输出结果是（  ）

A.7  B.8  C.9  D.10

解析： 

∴当时，此时，选D

9.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（  ）

A.330种  B.420种  C.510种  D.600种

解析：分三类：①甲、乙、丙三人每人都只选1门，有种；

②三人中一人选2门，另两人选1门，有种；

③三人中一人选1门，另两人选2门，有种。

∴不同的选法共有330种，选A

10.已知的三边长分别为，且满足，则的取值范围为（  ）

A.  B.  C.  D. 

解析：由三角形边角关系，则

∴，两式相加得， 

∴的取值范围为，选B

第Ⅱ卷（满分100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置）

11.甲、乙两位同学5次考试的数学成绩（单位：分），统计结果如下：

解析：，；， 

∴成绩较为稳定的那位同学为乙，其方差为2

12.以平面直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位。曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为

，若与有两个不同的交点，则实数的取值范围是        

解析：曲线为；曲线为，

与有两个不同的交点，则

13.已知点是内一点，且。若与的面积之比为3：1，则      

解析：如图所示，因为与的面积之比为3：1，则

∴

,

∴

∴

14.已知为钝角，若，则的最小值是        

解析：，展开得

∴

∴

∵为钝角，则，∴

∴，即最小值为

15.定义：，当且时。对于函数定义域内的，若存在正整数是使得成立的最小正整数，则称是点的最小正周期，称为的周期点。已知定义在上的函数的图象如图，对于函数，下列说法正确的是         （写出所有正确命题的编号）。

①0是的一个周期点；

②3是点的最小正周期；

③对于任意正整数，都有；

④若是的一个周期点，则；

⑤若是的周期点，则一定是的周期点。

解析：根据函数图象可得

∴，①错误；，②正确；由函数解析式，显然③正确；由，当时，即，解得，④错误；当时，或，解得或，∴，⑤正确。

∴说法正确的是②③⑤。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16.（本小题满分12分）

锐角中，角的对边分别为。已知是和的等差中项。

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的取值范围。

解析：（Ⅰ）由题意知： 

∴，

即

∴，即

又，∴

（Ⅱ）

∵，∴

∴，即的取值范围是

17.（本小题满分12分）

某商场为回馈大客户，开展摸球中奖活动，规则如下：从一个装有质地和大小完全相同的4个白球和1个红球的摸奖箱中随机摸出一球，若摸出红球，则摸球结束；若摸出白球（不放回），则向摸奖箱中放入一个红球后继续进行下一轮摸球，直到摸到红球结束。若大客户在第轮（）摸到红球，则可获得的奖金（单位：元）。

（Ⅰ）求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率；

（Ⅱ）设随机变量为某位大客户所能获得的奖金，求随机变量的分布列与期望。

解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）

∴随机变量的分布列为

18.（本小题满分12分）

长方体中，，为中点。

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）平面与底面所成的锐二面角的大小为，当时，求的取值范围。

解析：（Ⅰ）在长方体中，⊥平面

∴

又∵为线段的中点，由已知易得∽

∴，∴,

故，且，∴⊥平面

又平面，∴平面⊥平面

（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设

则、、

∴、

设平面的法向量为

则，∴，不妨令

∴，又底面的法向量为

∴

又，∴，∴

∴，∴

19.（本小题满分13分）

已知函数（其中）。

（Ⅰ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数的最大值为，当时，求的最大值。

解析：（Ⅰ）由

得，又，故，

当时，在上为增函数，在上为减函数，

∴，即，∴

当时，不合题意

故的取值范围为

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时

即

则，得

∴在上为增函数，在上为减函数，

∴

20.（本小题满分13分）

椭圆的焦距为，且经过点

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点分别作斜率为、的两条直线，两直线分别交椭圆交于、两点，当直线与轴垂直是，求的值。

解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）由题意知，当时，点的纵坐标为0，直线与轴垂直，则点的纵坐标为0

故，这与矛盾。

当时，直线，

由，得，∴

∴，同理

由直线与轴垂直，则

∴

∵，∴，即

21.（本小题满分13分）

记曲线图像上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和为，

求证：（其中且）。

解析：（Ⅰ），设切点，

∴切线方程为： 

令，得，令，得，

∴，即

（Ⅱ）证明：（1）先证

∵

∴

∴

∴

∴

（2）再证

因为，由，得到

∵，且

∴，

∴

由（1）证明可知，

∴当且时， 

综合（1）（2）得，当且时，

有