高考数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

忽视等价性变形，导致错误。

，但与不等价。

【例1】已知f(x) = ax +，若求的范围。

错误解法  由条件得   

②×2－①             

①×2－②得         

+得  

错误分析  采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法  由题意有, 解得：

  把和的范围代入得

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

 【例2】

(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是

思路分析  本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得： 

有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

    原方程有两个实根，∴  

当时，的最小值是8；

当时，的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。

(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。

错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，

∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。

分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+ =1  (x+2)2=1－≤1  －3≤x≤－1，

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴    x2+y2的取值范围是[1,]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,

∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+( +)+4=[(a+b)2－2ab]+[( +)2－]+4

    = (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

∴(a +)2 + (b +)2的最小值是。

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列的前项和，求

错误解法  

错误分析  显然，当时，。

错误原因：没有注意公式成立的条件是。

因此在运用时，必须检验时的情形。即：。

(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。

错误解法  将圆与抛物线联立，消去，

得     ①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得   ， 解之得

错误分析  （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

当方程①有一正根、一负根时，得解之，得

因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。

思考题：实数为何值时，圆与抛物线，

有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.

错误解法  ，

。

错误分析  在错解中，由，

时，应有。

在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法  若，则有但，即得与题设矛盾，故.

又依题意     ,即因为，所以所以解得

说明  此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。

错误解法  设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去得整理得  

直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为

错误分析  此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法  ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。

③一般地，设所求的过点的直线为,则，

令解得k =,∴    所求直线为

综上，满足条件的直线为： 

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是   A(集合元素的确定性)

(A)     0             (B) 0或1        (C) 0或2    (D) 0或1或2

2、已知A =，若A∩R* =  ，则实数t集合T = ___。(空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)

(A) －1≤k≤0   (B) －1≤k<0 (C) －14、命题＜3，命题＜0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是C(等号)

（A）     （B）     （C）     （D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)内恒成立，则实数的取值范围是A(等号)

(A)  [,1)       (B) (1, + )    (C) (,1)    (D) (,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na < 2 +对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号)

(A) [－2，)    (B) (－2，)    (C) [－3，)    (D) (－3，)

7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意

的实数、都有。证明：为奇函数。(特殊与一般关系)

8、已知函数f(x) =，则函数的单调区间是_____。递减区间(－，－1)和(－1， +)

（单调性、单调区间）

9、函数y =的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域）

10、已知函数f (x)=， f (x)的反函数f －1(x)=    。

（漏反函数定义域即原函数值域）

11、函数 f (x) = log  (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)

(A) (－2,2)        (B) [－2,2]

(C) (－,－2)∪(2,+)    (D) (－,－2]∪[2,+)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件)

（A）2    （B）    （C）    （D）0

13、函数y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞) （定义域）

14、函数y = sin x (1 + tan x tan)的最小正周期是C （定义域）

(A)    (B)     (C) 2    (D) 3

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x  [0,1) 时，f (x) = 2 x，则 f (log 23) = D(对数运算)

(A)    (B)    (C) －    (D) －

16、已知函数在处取得极值。

  （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线的切线，求此切线方程。(2004天津)

（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

17、已知tan (－)= －则tan  =  ； =  。、（化齐次式）

18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin  = 0，则cos 2 + cos 2 的最小值是  __ 。(隐含条件)

19、已知sin + cos =，  (0，)，则cot = _______。－(隐含条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、

、，则∠B =  B(隐含条件)

    （A）    （B）    （C）    （D）

21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a +)2  +  (b +)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x ≠ k (k  Z)，函数y = sin2x +的最小值是______。5（三相等）

23、求的最小值。

错解1  

错解2  

错误分析  在解法1中，的充要条件是

即这是自相矛盾的。

在解法2中，的充要条件是

这是不可能的。

正确解法1 

其中，当

正 确 解 法2 取正常数，易得

其中“”取“＝”的充要条件是

因此，当

24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数)

25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，

则 b2 (a2－a1) = A(符号)

(A) －8     (B) 8    (C) －    (D) 

26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？

当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；

当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。

（忽视公比q = －1）

27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

  ，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)

29、i是虚数单位，的虚部为（    ）C(概念不清)

(A) －1    (B) －i    (C) －3    (D) －3 i

30、实数，使方程至少有一个实根。

错误解法  方程至少有一个实根，

或

错误分析  实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法  设是方程的实数根，则

由于都是实数，,解得  

31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)

32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。

                                                   a = (h，4h+8) (其中h  R)(漏解)

33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。

①若，共向，则 ·＝||•||＝，

          ②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解)

34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。a3 (隐含条件)

35、在直二面角 －AB－ 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)

  (A) 45    (B) 60      (C) 120      (D) 60 或 120

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

  （1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(条件不充分(漏PA  平面EDB，平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)

37、若方程+ y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ )(漏解)

38、已知椭圆+ y 2 = 1的离心率为，则 m 的值为  ____ 。4 或(漏解)

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 =，则椭圆的方程是         。+ y 2 = 1或x 2 +  = 1(漏解)

40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

  （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津)

(设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、 已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。

错解1  故所求的双曲线方程为

错解2  由焦点知

故所求的双曲线方程为

错解分析  这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1  设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知  整理得

正解2  依题意，设双曲线的中心为,

则       解得  ,所以  

故所求双曲线方程为  

42、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法  如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为

设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，

与⊙C相切于N点。根据已知条件得

，即，化简得

错误分析  本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

43、（如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。

错误解法  依题意，可知曲线是抛物线，

在内的焦点坐标是

因为二面角等于，

且所以

设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，

从而

所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是

错误分析  上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在 内的射影(曲线)是一条抛物线。

正确解法  在内，设点是曲线上任意一点

（如图3－2－3）过点作，垂足为，

过作轴，垂足为连接，

则轴。所以是二面角

的平面角，依题意， .

在

又知轴（或与重合），

轴（或与重合），设，

则    

因为点在曲线上，所以

即所求射影的方程为   

44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。

错误解法  依题意可设椭圆方程为

则    ，

所以    ，即  

设椭圆上的点到点的距离为，

则    

所以当时，有最大值，从而也有最大值。

所以    ，由此解得： 

于是所求椭圆的方程为

错解分析  尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：

若，则当时，（从而）有最大值。

于是从而解得

所以必有，此时当时，（从而）有最大值，

所以，解得

于是所求椭圆的方程为

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。