“直线和圆的位置关系”教学设计

作者：张清霞

来源：《中国校外教育·高教》2011年第04期

        一、教学内容

        人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章24.2.2直线和圆的位置关系（第一课时）

        二、教学目标

        1．知识与技能目标

        使学生理解直线和圆相交、相切、相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定。

        2．过程与方法目标

        经历观察、操作、了解直线和圆位置关系的过程，理解分类、数形结合，培养观察、分析和概括的能力。

        3．情感与能力目标

        通过直线和圆的相对运动，揭示直线和圆的位置关系，培养学生运动变化的辩证唯物主义观点，增强学生应用数学的意识。

        三、重点与难点

        重点是掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定。

        难点是如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较。

        四、教学方法

        运用自主交流、引导发现、练习提高等方法。

        五、教学设计

        1.结合实际，情境导入

        前面我们学习了点和圆的位置关系，请同学们回想一下，点和圆有哪几种位置关系？

        （板书：点和圆的位置关系）

        生答：（板书）点在圆外、点在圆上、点在圆内。

        如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，这三种位置关系如何用数量来表示呢？

        （板书d＞r d=r d＜r）强调它们是等价的。

        在日常生活中，除了点和圆的位置关系外，我们还经常遇到直线和圆的位置关系。请欣赏下列图片：（课件展示插图）

        在太阳升起的过程中，太阳和地平线的位置关系；火车行驶过程中，车轮与铁轨之间的位置关系。（边演示边解说）

        导入课题：24.2.2直线和圆的位置关系（一）（板书）

        （引导学生通过观察抽象出数学图形并进行描述，揭示直线与圆存在着不同的位置关系，自然地导入新课。设计的目的在于创设情境，激发兴趣，使学生从生活走进数学，自然地数学来源于实践的观点。）

        2.直观感知，探索新知

        （1）看一看

        定位于上面第一幅图片。问题：在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系呢？（三种）如果把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，可以看出直线和圆会有三种位置关系。（强调并板书：三种）

        （2）做一做

        请同学们在一张纸上作一个圆，取一把直尺，把直尺的边缘看成一条直线，将直尺平放在纸面上，然后移动直尺，你发现直线和圆可能有几个公共点？（在同学们自主探讨的同时教师在黑板上画好三个圆备用）通过刚才的操作，你发现直线和圆可能有几个公共点？（三种情况：两个、一个或没有）请一位同学上台画一画，这三种位置关系我们分别给它一个名称：（对应图形板书：相交 相切 相离）。我们试着给它们下定义好吗？先请学生试着说出定义后师生再共同总结：当直线和圆有两个公共点时，我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；当直线和圆只有一个公共点时，我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；当直线和圆没有公共点时，我们就说这条直线和圆相离。 

        （3）议一议

        我们已经知道了直线与圆的三种位置关系，你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？请与同伴交流一下。（如把筷子放进杯子里，筷子所在的直线与杯口所在的圆是直线与圆相交；车轮滚动时，把地面看作一条直线，两者的关系为直线与圆相切；还可以利用教室中国旗、灯、天花板等采集信息。）做个生活的有心人，你会发现数学来源于生活，学好数学，我们能更好地指导生活。

        （设计的目的在于充分调动学生的积极性，增强学生积极参与数学活动的意识，培养学生的实践能力和归纳概括的思维能力，同时也渗透了分类的数学思想。）

        3.自主探究，形成规律

        想一想：类比点和圆的位置关系中d（点到圆心的距离）与r（圆的半径）的关系，在直线与圆的位置关系中，三种位置关系能否用数量关系来描述？利用自己已画好的图形探索直线与圆的位置关系中d（圆心到直线的距离）与r（圆的半径）的数量关系。请一名同学上台画图，然后请该同学说说做法。（对应板书：相离 d＞r 相切d＝r 相交d＜r ）

        重点提示：当直线与圆相交时，为什么是d＜r呢？（可以用直角三角形中斜边大于任一直角边或者点D到圆心的距离来解释。）然后利用几何画板中的具体数值验证三种数量关系。（见课件演示）

        通过观察和验证知道了由直线和圆的位置关系能推出d与r的数量关系，反过来由两者的数量关系可以确定直线与圆的位置关系。下面我们来利用这个关系来解决几个具体问题。

        （学生通过自主合作交流、探索发现、思维碰撞能获得对数学最深切的感受，体验到创造的快乐。）

        4.及时反馈，学以致用

        题组一：

        圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是：（1）4.5cm (2) 6.5cm  (3)8cm，那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 

        已知直线l与半径为r的⊙o相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围。（ r＞5 ）

        题组二：

        已知⊙o的半径R为3cm，点O到直线l的距离为d，如果直线l与⊙o有公共点，那么（ B）

        A、d＝3cm B、d≤3cm C、d＞3cm D、d＜3cm

        引申：若没有公共点呢？

        已知⊙o的半径为6cm，点P在直线l上，且OP=6cm，判断l与⊙o的位置关系。

        题组三：

        已知Rt⊿ABC中，∠C=90  0 ，AC=3cm，BC=4cm，点C为圆心作圆，当半径的长为多少时，AB与⊙C相切？

        以点C为圆心，分别以2cm和2.5cm作圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？

        点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的值。（用几何画板演示）

        （当r＜4cm或r＞4cm时相离；当r=2.4cm或3＜r≤4cm时相切；当3≤r＜4时相交）

        引申：如果有两个公共点呢？没有公共点呢？

        （通过练习，能加深学生对所学知识的理解，从中体会由“形”归纳“数”，由“数”判断“形”，加强数形转化能力的培养，渗透数形结合的思想。）

        5.归纳小结，延续探究

        谈一谈：通过这节课的学习，你有哪些收获？

        先让学生与同桌分享收获的喜悦，后与大家共同分享。

        （师总结）：类比，点与圆的位置关系学习直线与圆的位置关系；分类，直线与圆的三种位置关系；数形结合，直线与圆的三种位置下图形与数量的关系。

        6.布置作业

        随堂练习2、3。

        六、结语

        本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，通过“观察——猜想——探讨——归纳”，把知识形成的过程转化为学生亲自观察、实验、发现、探索、运用的过程，使学生在获得知识的同时提高兴趣，认识自我，增强信心，提高能力。

        注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文