高中数学文科立体几何大题复习

一．解答题（共12小题）

1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．

（1）求证：GR⊥平面PEF；

（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．

（1）求证：AD⊥PB；

（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．

（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．

6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．

（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；

（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．

7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．

（1）证明：BE⊥平面D1AE；

（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；

（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．

9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．

（Ⅰ）求证：PB=PD；

（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．

10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．

（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；

（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．

（1）求点B到平面DCP的距离；

（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

文科立体几何大题复习

参与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．

（1）求证：GR⊥平面PEF；

（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，

∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，

∴PD⊥平面PEF，

∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，

∴GR⊥平面PEF．

解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，

由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，

∴S△PEF=2，S△PFD=S△DPE=4，

=6，

设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，

则三棱锥的体积：

=，

解得r=，

∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．

2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中点，∴E是PB中点．

取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，．

∴

==．

3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．

（1）求证：AD⊥PB；

（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD为正三角形，

又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，

∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，

∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．

解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，

∵AQ∥BC，∴，

∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，

平面MQB∩平面PAC=MN，

∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，

∴，

综上，得，∴MC=2PM，

∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．

4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥面SBD，

所以AC⊥SD．

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，

则SD⊥OP，

设正方形ABCD的边长为a，

则SD=，OD=，

则OD2=PD•SD，

可得PD==，

故可在SP上取一点N，使PN=PD，

过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．

在△BDN中知BN∥PO，

又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，

得BE∥面PAC，

由于SN：NP=2：1，

故SE：EC=2：1．

5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．

（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．

【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点O，连接ON，OD，

∵四边形BCDE为菱形，∠BCD=60°，

∴DO⊥BC，

∵△ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，∴DO⊥平面ABC，

∵AC⊂平面ABC，∴DO⊥AC，

又DN⊥AC，且DN∩DO=D，

∴AC⊥平面DON，

∵ON⊂平面DON，∴ON⊥AC，

由O为BC的中点，AB=BC，可得，

∴，即λ=3；

（Ⅱ）由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，

由，可得点N到平面BCDE的距离为，

由菱形BCDE中，∠BCD=60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，

且，

∴△BDM的面积，

∴三棱锥N﹣BDM的体积．

又VN﹣BDM=VB﹣DMN，

∴三棱锥B﹣DMN的体积为．

6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．

（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；

（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．

【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，

∵AB=AC，M是BC的中点，

∴AM⊥BC，

∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，

∴B1M⊥BC，

又AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，AM∩B1M=M，

∴BC⊥平面AB1M，∵AB1⊂平面AB1M，

∴BC⊥AB1．

（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，

∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，

又∵AB1=BB1，∴AB1=，

∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．

由（I）知B1M⊥BC，AM⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AM∩BC=M，

∴B1M⊥平面ABC，

∴V==，

∴x=2，即AB=2．

7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．

（1）证明：BE⊥平面D1AE；

（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：连接BE，

∵ABCD为矩形且AD=DE=EC=2，

∴AE=BE=2，AB=4，

∴AE2+BE2=AB2，

∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE=AE，

∴BE⊥平面D1AE．

（2）=．

取D1E中点N，连接AN，FN，

∵FN∥EC，EC∥AB，

∴FN∥AB，且FN==AB，

∴M，F，N，A共面，

若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．

∴AMFN为平行四边形，

∴AM=FN=．

∴=．

8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；

（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．

【解答】解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．

设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，

在△BDC中，由余弦定理，得，

所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．

取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，

因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．

取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，

所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．

因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．

（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．

因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．

同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．

又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．

过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，

所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，

所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．

因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．

9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．

（Ⅰ）求证：PB=PD；

（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．

【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，

∵底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD且O为BD的中点．

又PA⊥BD，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，

∴BD⊥PO．又BO=DO，

∴Rt△PBO∽Rt△PDO，

∴PB=PD．

（Ⅱ）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQCD，

又AF，

∴AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，

∵EF⊥平面PCD，

∴AQ⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，

∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，

∴AP=AD=．

∵AQ⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，又AQ∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD=D，

∴PA⊥平面ABCD．

故三棱锥D﹣ACE的体积为．

10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵BE⊥平面ABCD，

∴AC⊥BE，

则AC⊥平面BED，

∵AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面BED；

解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，

∵BE⊥平面ABCD，

∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，

∴EG=AC=AG=x，

则BE==x，

∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，

解得x=2，即AB=2，

∵∠ABC=120°，

∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12，

即AC=，

在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，

∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，

则AE2+EC2=AC2=12，

即2AE2=12，

∴AE2=6，

则AE=，

∴从而得AE=EC=ED=，

∴△EAC的面积S==3，

在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，

则AE=，AF==，

则EF=，

∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，

故该三棱锥的侧面积为3+2．

11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．

（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；

（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结OE，

由AC⊥OD，AC⊥DE，OD∩DE=D，

得AC⊥OE，

∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠EOD，

∵AF=ED=1，

∴tan∠EOD=，

∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．

（Ⅱ）时，AM∥平面BEF，理由如下：

作MN∥ED，则，

∵AF∥DE，DE=3AF，∴，

∴AMNF是平行四边形，

∴AM∥FN，

∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，

∴AM∥平面BEF．

12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．

（1）求点B到平面DCP的距离；

（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

【解答】解：（1）过点B作BF⊥PC，由面DCP⊥面BCP可知，BF即点B到面DCP的距离，

在正△PBC中，，即点B到平面DCP的距离为． …（6分）

（2）∵CD∥AB，∴点M到面DCP的距离即点B到面DCP的距离，

而，…（8分）

所以．…（12分）

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;

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只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，

才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

无须自卑，不要自负，坚持自信。

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