高三第一轮复习 函数的性质(周期性与奇偶性)

      函数的奇偶性、周期性和对称性

 【提纲挈领】 

主干知识归纳 

1.函数奇偶性的定义

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则f（x）叫做偶函数；同理如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），则

f（x）叫做奇函数.

2. 周期性

(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：

①T≠0；

②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．

3. 对称性

奇函数关于原点对称；偶函数关于y轴对称.

方法规律总结 

1．函数奇偶性的判断

（1）定义法：一般地，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．因此，判断函数的奇偶性，首先应考察函数的定义域．若函数的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步考察是否等于．若，则是奇函数，若，则是偶函数．

（2）图象法：若函数图象关于原点对称，则是奇函数；函数图象关于y轴对称，则是偶函数.

（3）性质法：在公共定义域内：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

2．周期性结论：若恒成立，则是周期为的函数；若恒成立，则是周期为的函数；

3.对称性：若恒成立，则关于对称；若恒成立，则关于对称.

【指点迷津】 

【类型一】函数的奇偶性

【例1】：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

(1)f(x)＝x；

(2)f(x)＝log2(x＋)；

(3)f(x)＝＋；

(4)f(x)＝；

(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.

【解析】(1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x＝－x

＝x＝x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝－log2(x＋)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(3)由得x＝－，或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}．

又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．

∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．

(5)函数f(x)的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；

当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2. ,f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)

＝22＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数．∴当a＝0时，f(x)是偶函数；

当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．

【例2】：已知为奇函数，当时，，求在R上的表达式.

【解析】∵是上的奇函数，∴．

当时，，故有 .

∵为奇函数，∴ ．

∴ 

【类型二】函数的周期性

【例4】：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值．

【解析】(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图像关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．

(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图像关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．

(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又f(x)是以4为周期的周期函数．

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.

【同步训练】 

【一级目标】基础巩固组 

1． 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝　　　　    B．y＝x＋

C．y＝2x＋     D．y＝x＋ex

【解析】A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．

答案：D

2．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有>0，则(　　)

A．f(3)C．f(－2)【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵>0(x1，x2∈[0，＋∞))，∴f(x)是[0，＋∞)上的增函数，∴f(1)答案：B

3．(2014·高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)

A．－3     B．－1

C．1     D．3

【解析】∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.

∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．

∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.

答案：C

4．(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，

∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.

答案：1

5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

【解析】∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，

∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，

即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.

答案：－－1

6．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

解析：由g(x)＝f(x)＋9，故g(－2)＝f(－2)＋9＝3，∴f(－2)＝－6.

又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－6，∴f(2)＝6.

答案：6

7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，

∴即

解得－1≤m<.

8．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

【解析】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)∴x的取值范围是{x|－15【二级目标】能力提升题组 

1. 函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数

【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．

答案：C

2. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)

A．－1　　　　    B．0

C．1     D．2

【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，∴f(8)＝f(0)＝0.  答案：B

3. 已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．

解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.

答案：2

4．若偶函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝log2x，则f＝________.

【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)的周期为2，∴f＝f＝f＝f＝log2＝－1.  答案：－1

5．定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，则f(2 028)＝__________.

解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，

∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，则函数f(x)是以12为周期的函数．

∵f(2 016)＝2 016，∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.

答案：2 016

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为________．

①f(4)＝0；

②f(x)是以4为周期的函数；

③f(x)的图像关于x＝1对称；

④f(x)的图像关于x＝2对称．

【解析】∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x＋4)，

即f(x)的周期为4，②正确．∴f(4)＝f(0)＝0(∵f(x)为奇函数)，即①正确，

又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图像关于x＝1对称，∴③正确，

又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图像不关于x＝2对称，∴④错误．

答案：①②③

   【高考链接】 

1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)>0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.

答案：(－1,3)

2 .(2014·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝(　　)

A.     B.

C．0     D．－

【解析】∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．

∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f＝f＝f，f＝f＋sin，

∴f＝f －.∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＝.故选A.

答案：A

3．(2015·高考山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1)     B．(－1,0)

C．(0,1)     D．(1，＋∞)

【解析】因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.

答案：C