高中数学《基本立体图形》第1课时教学设计

一、内容和内容解析

　　1．内容

　　多面体、旋转体的概念；棱柱、棱锥和棱台的结构特征．

　　2．内容解析

　　空间几何体是立体几何的主要研究对象，对于各种各样的物体，如果只关注其形状、大小和位置关系，就可以抽象得到空间几何体．从空间几何体的组成元素（各个面的形状）和元素之间的关系（面与面之间的关系）出发，又可以得到多面体和旋转体．多面体是由若干个平面多边形围成的，旋转体是由封闭的旋转面围成的．

　　棱柱、棱锥和棱台是基本的多面体．与多面体和旋转体类似，棱柱和棱锥也是依据围成它们表面的图形形状、位置关系定义的：棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行；棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是由棱锥定义的，它是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，得到的底面和截面之间的部分．从整体和联系的观点出发，分析棱柱、棱锥、棱台的结构特征的联系与区别，可以发现，只要将其中一种几何体的上底面（或顶点）作适当变化，就可以变为另外两种几何体．

　　几何体由空间物体抽象而来，从物体到几何体的抽象过程，需要解决看什么、怎么看、怎么表示等问题．在几何体中，面、棱和顶点是基本元素，这些基本元素的形状、位置关系就反映了几何体的结构特征．认识这些结构特征，需要从实物和模型出发，直观感知、操作确认、思辨论证，这也是学习立体几何的基本方法．

　　综上所述，本节课的教学重点是：归纳多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台组成元素的形状、位置关系，抽象概括出它们的结构特征．

　　二、目标和目标解析

　　1．目标

　　（1）了解多面体和旋转体的结构特征，理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征．

　　（2）经历从物体到几何体的抽象过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．

　　2．目标解析

　　达成目标（1）的标志是：借助于实物模型或信息技术，能抽象多面体和旋转体的组成要素及其位置关系，会利用其组成元素（面、顶点、旋转面、轴等）及其位置关系描述多面体和旋转体．利用实物模型或信息技术，通过观察、分析、比较、归纳，抽象棱柱、棱锥、棱台的组成要素及其位置关系；会对它们进行分类与表示；能判断一个物体所表示的几何体是否为棱柱、棱锥、棱台；能从联系的角度认识棱柱、棱锥、棱台的联系与区别．

　　达成目标（2）的标志是：结合章引言与本节课的学习，能说出立体几何的主要内容，感受直观感知、操作确认、思辨论证的立体几何学习方法．在多面体、旋转体、棱柱、棱锥和棱台的结构特征的抽象过程中，反复经历“实物→立体图形”的过程，提升数学抽象和直观想象的素养．

　　三、教学问题诊断分析

　　本节课所学习的各种几何体，学生大多在以前已经有所认识，但以往的认识往往停留在直观感知水平，只知道某种几何体是“这样的一个”，而不清楚是“怎样的一个”．本节课是要从结构特征的角度对它们进行描述，这就需要从几何体的形成方式及面、棱、顶点、母线等要素及其位置关系等角度去把握几何体的结构特征，从而能说清楚各种几何体概念．这是一个“确定研究对象”的过程，也是我们学习立体几何的出发点．

　　在本节课的学习过程中，学生往往能借助初中所学知识，通过观察实物抽象出空间几何体，但要上升到用数学语言去描述它们则比较困难．教学时可先让学生做一些柱体、锥体、台体的模型，教学时通过观察他们自己所做的模型，结合教科书、教师、信息技术展示的图片，再讨论得出．另外，面对众多的几何体，找到合理的标准将其进行分类，是学生学习时可能遇到的另一个学习障碍．这需要教师逐步引导，明确分类时要考虑物体的内部结构和外部特征，从而确定分类的标准．

　　基于以上分析，本节课的教学难点是：多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征的抽象．

　　四、教学支持条件分析

　　为有效实施对几何体整体与局部的直观感知活动，帮助学生抽象概括出多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，本节课需要使用几何教学实物模型和信息技术支持．教学模型有两种，一种是有面的，更接近于实物；另一种是仅由棱构成的框架，更接近于立体图形．信息技术则可以呈现丰富的实物图片、模型图片、几何图形，并呈现它们彼此转换的过程．

　　五、教学过程设计

　　（一）章节起始，先行组织

　　问题1 本节课我们开始学习新的一章内容，请同学们自行阅读章引言、观察章前图，你知道了什么？

　　师生活动：学生自主学习后师生对话交流．具体可以从：立体几何研究什么？本章的主要内容有哪些？本章学习时应注意什么？这些问题展开．

　　设计意图：作为一章的起始课，了解整章内容、学习方法是本节课的任务之一．借助章目录、章引言、章前图，建立学习的“先行组织者”．

　　（二）认识多面体和旋转体

　　引言：环顾四周，我们生活的空间是三维的空间，触摸到的物体几乎都和几何体相关，在小学和初中我们都接触过一些特殊的几何体，如：正方体、长方体、圆柱体、球等几何体，在生活中我们也常见到一些建筑物，它们实际上是由几种空间几何体组合在一起而形成的．今天我们一起来研究其中一些基本的空间几何体．

　　师生活动：教师利用信息技术出示大量的建筑物等生活中常见物体的图片（包括章前图），结合这些图片给出空间几何体的概念：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．并指出：本节课主要从结构特征方面认识一些最基本的空间几何体．

　　设计意图：引出本节研究内容，给出几何体的概念以及认识几何体的角度．

　　问题2 观察教科书图8.1-1中的图片，这些图片中的物体具有怎样的形状？如何描述它们的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？

　　师生活动：教师呈现教科书图8.1-1的图片，指出观察的方法（从物体表面图形的形状入手），组织引导学生进行逐一观察与归纳．

　　追问（以纸箱和奶粉罐为例）：它们各有几个面？每个面具有什么样的形状？它们分别类似于哪种我们知道的空间几何体？它们之间的差别是什么？（准备好实物模型）

　　设计意图：引导学生观察物体，根据面的特点进行分类，为引出多面体和旋转体的概念做准备．

　　问题3 按照围成几何体的面的特点，上述图片反映的几何体可以分为哪几类？各类几何体具有什么样的结构特征？

　　师生活动：从围成几何体的面的角度，引导学生将上述几何体分为两类：一类是围成它们的每个面是平面图形，并且是平面多边形，一类是围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．进而给出多面体和旋转体的概念，并结合教科书图8.1-2给出多面体的面、棱、顶点等概念．对于旋转体的概念，可结合图8.1-3（腰鼓）引导学生将其视为旋转围成的，这里的旋转面既有曲面，也有平面．也可借助信息技术，展示旋转体的形成过程．

　　设计意图：借助具体的实物图片及模型，引导学生对图形进行观察、分析、比较，并按照围成几何体的面的特点进行分类，抽象概括出多面体和旋转体的概念．

　　（三）认识棱柱、棱锥、棱台

　　问题4 下面我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识它们．首先从多面体开始．

　　观察教科书图8.1-1中的纸箱、茶叶罐，以及图8.1-4中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？你能再举出一些生活中与它们具有相同结构特征的例子吗？

　　师生活动：教师引导学生对纸箱、茶叶罐、长方体进行观察、讨论，得出它们具有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．教师指出具有这三个特征的多面体叫做棱柱．

　　追问1：你能举出生活中一些给我们以棱柱的形象的实例吗？

　　追问2：类比一般多面体的面、棱、顶点，棱柱的面、棱、顶点有什么特点？它们之间有什么关系？

　　师生活动：教师引导学生分析棱柱的面、棱、顶点的特点及其位置关系，给出棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点等概念（图1），并给出棱柱的表示方法．

　　追问3：观察图2中的棱柱，你能从它们的底面多边形的边数或侧面与底

　　面的关系的角度对它们进行分类吗？

　　师生活动：教师引导学生从底面多边形的边数和侧棱是否与底面垂直的角度对棱柱进行分类，并给出直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体等概念．需要说明的是，由于没有直线与平面垂直的概念，对于侧棱是否与底面垂直，学生能直观理解即可．

　　设计意图：以棱柱为载体，师生共同深入认识一个基本几何体．在教学棱柱过程中，渗透认识一个几何体的基本内容和方法．认识一个几何体，主要从其结构特征，从组成这个几何体的要素以及要素之间的位置关系的角度进行．除把握几何体的结构特征外，一般我们还要弄清其相关概念，表示以及分类．在认识几何体的过程中，要注意实物以及立体模型的作用，在这一过程中，发展学生的数学抽象、直观想象素养．

　　问题5 观察教科书图8.1-1中金字塔这样的多面体，它由什么样的面围成？这些面之间有什么位置关系？你还能举出一些具有类似结构特征的物体吗？

　　追问：类比棱柱的学习过程，你能给出棱锥的相关概念并对棱锥进行表示和分类吗？

　　师生活动：教师引导学生观察金字塔图片，也可以多给出一些图片并结合棱锥模型进行观察，与学生共同讨论棱锥的结构特征：均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形．进而给出棱锥的概念，并类比棱柱给出其底面、侧面、侧棱、顶点等相关概念（图3）、表示、及分类，类比正棱柱给出正棱锥的概念．

　　设计意图：类比棱柱的学习，在把握棱锥的结构特征的基础上，了解棱锥及其相关概念、表示和分类．

　　问题6 我们知道，常见的多面体除了棱柱、棱锥以外，还有棱台．棱台可以看作是由截棱锥形成的．观察由棱锥截得棱台的动画，你能发现二者之间的关系吗？类比棱柱与棱锥，你能给出棱台的相关概念并对棱台进行表示和分类吗？

　　师生活动：教师呈现由棱锥截得棱台的动画，引导学生发现棱锥与棱台的关系，给出棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的多面体叫做棱台．进而类比棱柱、棱锥，给出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点的概念，给出棱台的表示方法和分类（图4）．结合截棱锥得到棱台的过程，教师可以向学生指出，可以通过判断一个多面体侧棱的延长线是否交于一点来判断其是否为棱台．

　　设计意图：对于棱台，其定义与棱柱和棱锥不同，它是从截棱锥的角度定义的．教学中要注意到这种差别，可以利用信息技术设计动画呈现截棱锥得到棱台的过程．教学中还要重视学生的主动性，对于棱台的相关概念、分类与表示，可以类比棱柱与棱锥完成．

　　（四）建立联系，深入理解棱柱、棱锥、棱台的概念

　　问题7 棱台与棱柱、棱锥都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？

　　师生活动：教师引导学生讨论，得出结论：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，从相互联系的观点看：棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱；棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥（图5）．教师在学生分析过程中，可以借助信息技术演示这一过程．

　　设计意图：一是通过建立棱柱、棱锥、棱台之间的联系，引导学生用运动、变化、联系的观点去看棱柱、棱锥、棱台，体会从量变到质变的过程，渗透辩证的观点．

　　（五）应用知识，深化理解

　　例1 将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：

　　多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体．

　　师生活动：教师引导学生分析这些几何体的结构特征，弄清它们的内涵和外延，从而用集合的方式表达它们之间的关系．答案如图6所示．

　　练习

　　1．图7中，为棱锥的是 ．

　　2．如图8，判断下列几何体是不是棱台，并说明为什么． 

　　设计意图：通过例题、练习巩固本节知识，深化对相关概念的理解．

　　（六）归纳小结，反思提升

　　教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

　　（1）本节课我们主要学习了什么知识，这些知识与你的生活有什么联系？

　　（2）认识一个几何体，我们应关注哪些内容？其基本思路是什么？由此你能对研究一个几何对象的内容、思路和方法有一定的体会吗？请结合本节课一个具体的几何体谈谈你的体会．

　　设计意图：通过教师提出问题，教师与学生共同梳理本章所学的主要知识，以及涉及的数学思想方法．通过师生结合实例分析几何体的研究过程，体会立体几何的研究内容、思路和方法．

　　（七）布置作业

　　教科书习题8.1第1，2，6，7，10题．

　　六、目标检测设计

　　1．下列说法中正确的是（）．

　　（A）棱柱的侧面可以是三角形

　　（B）由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图

　　（C）正方体的各条棱都相等

　　（D）棱柱的各条棱都相等

　　设计意图：考查学生对棱柱的相关概念的理解．

　　2．在多面体中，三棱锥有什么结构特征？

　　设计意图：考查学生对三棱锥的认识．

　　3．如图9，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中FG∥B′C′∥EH，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？你能说出它们的名称吗？

　　设计意图：考查学生对棱柱的结构特征的理解以及空间想象能力．