抽象函数(讲义)

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例1：是定义在R上的奇函数，且满足2个条件：

(1)对于任意的x , y∈R，都有；

(2)当x>0时，且，

求函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值

分析：利用函数的单调性求函数的最大值和最小值，这是解决抽象函数(没有具体解析式)常见求最大(或最小)值的方法。利用函数单调性来判断函数是增函数还是减函数。

解：设

则

因为当x>0时，f(x)<0

所以函数f(x)在R上是减函数

又由函数在R上是奇函数，所以函数最大值为6

例2：已知的定义域是(0，+∞)，当x>1时，，且求：

(1)求

(2)判定在定义域上的单调性

(3)如果，求满足不等式≥2的x的范围

解：(1)由，得  

所以

(2)由

得

设0<

则，由于当x>1时， 

所以

∴

所以函数在定义域上是增函数

(3) 由于， 

∴

∵

∴

由≥2 ，

得

即    

 ∴ 

解得

例3：已知的定义域是R，f(0)≠0，当x>0时， >1且

求：(1)的值

(2)判定函数值的正负

(3)判断在R上的单调性

(4)若，求x的取值范围 

解：(1)   又f(0)≠0

则

(2)当x<0时 -x>0

∴   

∴值为正

则>0

∴函数值为正

(3) ∵， 

则

∴

∴

∴函数在R上是增函数

(4) ∵

    ∴

由于函数在R上是增函数，要使得

即    

则

解得

总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但我们若能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效。