无锡一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理)试题

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知（为虚数单位），则复数的共轭复数是   ▲   ．

2．从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有  ▲  种

（用数字作答）．                                      

3．若，则    ▲    ． 

4．由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有  ▲  个（用数字作答）．

5．设为奇数，则除以9的余数为   ▲   ．

6．已知复数乘法（，为虚数单位）的几何意义是将复数在复平面内对应的点绕原点逆时针方向旋转角，则将点绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为    ▲    ． 

7．的展开式中有理项共有    ▲    项．

8．已知一个关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”．有下列判断：

（1）当时命题不成立，则时命题不成立；

（2）当时命题不成立，则时命题不成立；

（3）当时命题成立，则时命题成立；

（4）当时命题成立，则时命题成立．

其中正确判断的序号是    ▲    ．（写出所有正确判断的序号） 

9．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值是   ▲     ．

10．已知扇形，点为弧上异于的任

意一点，当为弧的中点时， 

的值最大．现有半径为的半圆，在圆弧

上依次取点（异于），则的最大值为  ▲  ．

11．从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有   ▲  种（用数字作答）．

12．若，则的值为   ▲  . 

13．数列满足，其中，设，则等于  ▲  ． 

14．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边的系数为，而右边

，

的系数为

，

由恒成立，可得．

利用上述方法，化简   ▲   ．

二、解答题（共6大题，共90分）

15．（本题满分15分）

设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第

一、三象限的角平分线上．

（1）求复数；

（2）若为纯虚数， 求实数的值．

16．（本题满分15分）

4个男同学，3个女同学站成一排．

（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？

（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

 （用数字作答）

17．（本题满分15分）

已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112．

（1）求的值；

（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；

（3）求的展开式中含项的系数．

 （用数字作答）

18．（本题满分15分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个

黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列．

19．（本题满分15分）

已知，考查

①；

②；

③．

归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

20．（本题满分15分）

试用两种方法证明：

（1）；

（2）．

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1.；         2.  ；                3.；         4.；  

5.；             6.；   7.；            8. （2）（3）； 

9.；      10.；       11.；         12.； 

13.；         14. 

二、解答题（共6大题，共90分）

15．（本题满分15分）

解：（1）设，……………………………………1分

由题意：.①………………………………………………3分

，

得②……………………………………………………5分

①②联立，解得…………………………………………7分

得.………………………………………………………………8分 

（2）………………11分

所以且，……………………………………13分

解得.………………………………………………………………15分

16．（本题满分15分）

解：（1）；…………………………………………3分

（2）（捆绑法）……………………………………7分

（3）（插空法）；…………………………………11分

（4）.………………………………………………15分

17．（本题满分15分）

解：（1），………………………………………………2分

解得；………………………………………………3分

含项的系数为，…………………………5分

解得（舍负）.………………………………………6分

（2）；…………………………9分

（3），………………11分

所以含的系数为.………………………………15分

18．（本题满分15分）

解：（1）设“取出的4个球均为黑球”为事件，

；

答：………………                      ………………………………3分

（没有设或答扣一分）

（2）设“取出的4个球恰有1个红球”为事件，

；

答：………………                  ……………………………………6分

（没有设或答扣一分）

（3）所有可能的值为0，1，2，3，4，

， ……………………………………………………………………8分

，……………………………………………………………………10分

，…………………………………………………12分

…………………………………………14分

所以的分布列为

19．（本题满分15分）

结论 ：………………………………3分

证明：①当时，显然成立；…………………………………………5分

②假设当时，不等式成立，

即，………………………7分

则时，

……………………………………………………14分

由①②，不等式对任意正整数成立.………………………………15分

20．（本题满分15分）（1）证明：

方法1   由

令，得.     …………………………3分

     方法2   数学归纳法

     ①当时，显然成立；

     ②假设当时，，

则当时，由

所以，

由①②，等式对于任意恒成立.

                                          …………………………………7分

方法3  含个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证

（方法1给4分，其他方法6分）

（2）方法1

先证. 

，（注意）

，

所以。       ……………………………………………………9分

所以

…………………………11分

方法2    由，

两边求导，得，……………………14分

令，得.  ……………15分