第7章 多项式环

         §1  一元多项式环

观察下列表达式有什么不同之处：

     其中是一个符号；            （1）

      其中；                  （2）

    其中。               （3）

由及，从（2）、（3）式分别得出

                             （4）

                        （5）

 （4）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不相同；

同样（5）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不

相同。对于，当是一个符号时，只能是

            ，

即相等的两个表达式含有相同的项，此时称为

一个多项式，而都不能称为多项式。

1. 多项式的定义 设是一个数域，是一个不属于的符号（也称为不定元）。任意给定一个非负整数在中任意取定，称表达式

                        （6） 

为数域上的一个一元多项式，其中称为次项，常数项也称为零次项。

   两个一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数对应相等。

系数全为零的多项式称为零多项式，记为

。

2. 多项式的次数：用表示（6）式中的多项式。如果，则称为多项式的首项，称为的次数，记为

亦即，一元多项式的次数就是系数不为零的项的最高次数。当首项系数时，也称为首一多项式（补充）。

  零多项式的次数规定为，即；非零常数是零次多项式，次数为零。约定：

3. 多项式的运算  记数域上的所有一元多项式组成的集合为。在中任取，  ，

不妨设，则

          其中时，   （7）

                              （8）

称是与的和与差，称是与的积。

   多项式的加法与乘法满足下列运算法则：，有

1°加法交换律：；

2°加法结合律：；

3°加法有零元：；

4°加法有负元：设，定义，称为

的负元，它满足

5°乘法交换律：；

6°乘法结合律：；

7°乘法有零单位元1：；

8°乘法对加法满足左、右分配律：

      ；  。

注意  试比较整数的加法与乘法、矩阵的加法与乘法，和

多项式的加法与乘法的相似之处。又再比较它们和向量的

运算之间的差别。

命题1（次数定理）  任给，都有

     ；           （10）

                       （11）

9°乘法消去律：

（1）由或；等价于

由

（2）由且

 证明：（1）由有，即。由

这只能是或，即或。

 （2）。由（1）当时可推出，

即。

4.环的定义  设是一个非空集合，如果它有两个代数运算，

一个叫做加法，记作，另一个叫做乘法，记作；

并且这两个运算满足下面6条运算法则：，有

1°加法交换律：；

2°加法结合律：；

3°加法有零元：存在，使得；

4°加法有负元：对于，中有元素，使得，

称是的负元，记作，从而有； 

5°乘法结合律：；

6°乘法对加法满足分配律：

      ；  。

则称是一个环。

   最典型的环有：整数集合、全体一元多项式的集合和全体阶方阵的集合，分别称为整数环、一元多项式环和

全阵环。

子环：环的一个子集如果也构成一个环，则称它为的一个

子环。

 子环的判定定理：环的一个非空子集成为一个子环的充分必要条件是，对于的减法与乘法都封闭，即

         。

 给定，称为的一个多项式，

它是由多项式将换成得到的。

的多项式全体记为，即

  。

不难验证满足环定义中的6条，因而是一个环，

且是的子环。

5.的“通用性质”

 “通用性质”不要求详细掌握，只要求了解，具体含义见教材

第7页中间一段的文字解释：

设是一个有单位元的交换环，则中所有通过加（减）

法和乘法表示的关系式，在不定元用中的任何一个元素代

人后仍然保持成立。

  分别取和，举例说明。

 例1  设是数域上的阶幂零矩阵，其幂零指数为

 令， 证明可逆，并且求。

 §2   整除性与带余除法

1. 整除的定义  设，如果存在，

使得，则称整除，记作；

  否则，称不能整除，记作

因式与倍式：当整除时，称为的因式，称

为的倍式。

注：1°当且仅当，即只有，当时，不整除；

    2°，都有；

    3°，，都有。

   用表示中全体非零常数组成的集合。

2.多项式的相伴： 在中， 如果同时有，

成立，则称与相伴，记作～。

命题1  在中，～当且仅当存在，使得

命题2  在中，如果，则对于任意

，有

 3. 带余除法：当不能整除时，有

  定理3（带余除法定理） 对于中的任意两个多项式

与，其中，在中都存在唯一的一对多项式

与，使得

  ，其中      （3）    

 （3）式中的称为除（或被除）的

商式，称为除的余式。

证明  分存在性和唯一性两部分证明。

（1）存在性  记 注意有

  1°当时，。取，，有

       ， 

定理成立。

     2°当，且时。取，，

， 

定理成立。

     3°当，且时。对作数学归纳法。

     假设对次数小于的多项式，命题的存在性部分成立。

   现在看次数为的多项式。采用“首项消去法”。

   设，的首项分别是。于是的首项是

（与的首项相同）。令

             ，           （4）

   则根据归纳假设，存在，使得

          ，且    (5)

   将（5）式代入(4)式，得

                   （6）

   令，，则

     ，且   （7）

 根据数学归纳法原理，定理3 的存在性部分得证。

 （2）唯一性。 设，使得

      ，且   （8）

，且  （9）

  从（8），（9）得

                    （10）

 于是由次数定理有 

         （11）

 从而，只能，于是

，即

   从而又有唯一性得证。

定理3（带余除法定理） 对于中的任意两个多项式

  与，其中，在中存在唯一的一对多项

式，使得

   ，且     （3）

（3）式中的称为除（或被除）的

商式，称为除的余式。

例1  用除，求商式和余式，其中

        ，  。

推论4  设，且，则

当且仅当除的余式为零。

 注意：推论4给出了判断两个多项式是否整除的方法，即用

带余除法，只要余式为零，则它们整除，否则，不整除。

4. 综合除法： 当除式是一次多项式的形式时，

带余除法可以简化为所谓的“综合除法”。它主要的简化

步骤是：将带余除法中含有不定元的运算过程，简化为

只需用的系数和进行运算的过程。

例2设，

求除的商式和余式。

本节最后，设,是一个包含数域的数域

（称是的扩域，如复数域实数域有理数域）。

此时，和也可以看做是中的多项式。问：与

在中做带余除法的商和余式，和与在中

做带余除法的商和余式是否相同？

答案是肯定的：即商和余式是相同、不变的。

   理由如下：设在中做带余除法的结果如下

，且         （3）    

其中，为商式，为余式。

由于，因此也可以看做中的多项式，

因而（3）式也可以看做是在中进行的。但是，由带余除法定理，满足（3）式的和是唯一的。因此，无论在

中还是在中，除的商式和余式都是和。即

   “带余除法的结果不因数域的扩大而改变。”

由于当且仅当除的余式为零。

由此又可得

命题5  设，数域，则

在中， 在中，。即

“多项式的整除性不因数域的扩大而改变。” 

§3  最大公因式

     在整数中，2，3，6都是12与18的公因数，其中6

  是最大公因数，记为（12，18）=6.其它公因数2，3与

  最大公因数6之间满足关系： ，即一般的公因数

总是最大公因数的因数。可见，这里的“最大”不是指

数的大小，而是按整除关系来比较。另外6还可以写成

12 与18的组合形式：6=-112+118.

   在多项式的运算中，也有类似这样的现象。

1.公因式：在中，如果既是的因式，又是

的因式，则称是与的公因式。

  2. 最大公因式：如果同时满足两个条件

①是与的一个公因式；

           ② 对于与的任何一个公因式，

              都有，则称是与的

一个最大公因式。

    注意：两个多项式的最大公因式不是唯一的。因为如

果是与的一个最大公因式，则乘以任何

一个非零常数后也是最大公因式。

    特殊情形：0与0的最大公因式只能是0；

             是与0的一个最大公因式。

3. 最大公因式的性质  

命题1 设，如果与的所

有公因式组成的集合（记为）等于与的所有公

因式组成的集合（记为）， 则与的最大公因式

的集合（记为）等于与的最大公因式的集合（记

为）。 即相当于由推出。

 证明 见附页 

 推论2 设，是中非零常数，则

与的最大公因式的集合等于与的最大公

因式的集合。

 引理1  在中，如果有等式

             ，

（这里不要求），则与的最大公

因式的集合等于与的最大公因式的集合。  

  4.最大公因式的存在性及求法

    定理3  对于中的任意两个多项式与，都

存在它们的一个最大公因式，并且可以表示成

与的一个组合，即有中的多项式与，使得

                    （2）

    证明 见附页 

 两个给定多项式的最大公因式不是唯一的，但由最大

公因式的定义，两个最大公因式一定是相伴的，于是任何

两个最大公因式之间只差一个非零常数倍。约定：与

的首项系数为1的最大公因式记为，它是由

和唯一决定的。

例1  设

      ，  

 求，并且把它表示成与的组合。

例2  设

    ， 

 求，并且把它表示成与的组合。

5. 多项式的互素：中两个多项式，，如果

  ，则称与互素。

    如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外

  没有其他的公因式。

 定理4（互素的判定定理）中两个多项式与

互素的充分必要条件是，存在中的多项式，，

使得

                   （3）

 互素的性质定理

 性质1  在中，如果，且，

        则。

 性质2  在中，如果，，且，

        则。

性质3  在中，如果，，

        则 

6. 多个多项式的最大公因式与互素

   定义 在中，如果多项式能整除多项式

中的每一个，那么叫做这个多项式

的一个公因式。设是的一个公因式，

且具有性质：的每一个公因式都是

的因式，则称为的一个最大公因式。

个多项式的最大公因式一定存在，且在

相伴意义下是唯一的，用    表示首项系数

为1的那个最大公因式。 

求法如下：

当时，称互素

（个多项式互素）。

注意：个多项式互素与两两互素不同。两两互素一定

个多项式互素，但个多项式互素不一定两两互素。

  例如，设

  ，， 

 则互素，但与不互素。

前面有“带余除法的结果不因数域的扩大而改变。”

“多项式的整除性不因数域的扩大而改变。”

由于最大公因式可由多次带余除法（辗转相除法）得到，而互素又是最大公因式为1 的特殊情况，所以有：

命题5  两个（及个）多项式的首项系数为1的最大公

因式以及多项式的互素性不因数域的扩大而改变。

但要注意，与的普通公因式通常是随域的扩大而改变的。例如

，， 

在实数域中的公因式是，而在复数域中的公因式是

和，在两种数域中的公因式各不一样。但无论是在实数

域中还是在复数域中，与的最大公因式都是，不随域的扩大而改变。

  本节总结

  公因式：    

最大公因式：不唯一；相伴；表示首项系数为1

的那个最大公因式（唯一）；可用带余除法求最大公因式。

互素：；

互素的判定定理：与互素的充分必要条件是，存在，

，使得

   互素的性质定理

 性质1  在中，如果，且，

        则。

 性质2  在中，如果，，且，

        则。

性质3  在中，如果，，

       则 

两两互素一定个多项式互素，但个多项式互素不一定

两两互素。

“带余除法的结果不因数域的扩大而改变。”

“多项式的整除性不因数域的扩大而改变。” 

“多项式的首项系数为1的最大公因式不因数域的扩大而

改变。” 但普通公因式随域的扩大而改变。

“互素性不因数域的扩大而改变。”

 §4 不可约多项式，唯一因式分解定理

不可约多项式类似于整数中的素数（或质数）

1．不可约多项式的定义  中一个次数大于零的多项

式，如果它在中的因式只有零次多项式和

的相伴元，则称是数域上的一个不可约多项式；

否则称是可约多项式。

 2. 不可约多项式的性质

性质1  中不可约多项式与任一多项式的关系

只有两种：或者，或者与互素。

（与素数的性质类似）

性质2  中，如果不可约，且，则

或者，或者。

（与素数的性质类似）

    性质3  中，不可约当且仅当不能分解成两个

次数较的次数低的多项式的乘积。

（与素数的性质类似）

   推论：中的每个1次多项式一定是不可约多项式。

  3. 唯一因式分解定理：中每个次数大于零的多项式

都能唯一地分解成数域上有限多个不可约多项式

的乘积。唯一性是指除了因式的先后顺序外，因式分

解的结果只有一个。

（类似于任何整数都能分解成有限多个素数的乘积）

    如： 

由唯一因式分解定理，中的任何一个多项式都可以

分解成如下形式

        ，        （7）

其中是的首项系数，是不同的首项

系数为1的不可约多项式，是正整数。

（7）式称为的标准分解式。

由于中的任何一个多项式都有形如（7）的分解形式，

因此我们可以用这种分解式来解题，特别是证明题。

例如，要求与的最大公因式，可以设

       ，

       ，

则    

这就是因式分解的理论意义：即可以用因式分解求两个多

项式的最大公因式。

但这种求法的实际意义并不大，原因是：没有一个统一的

方法去求一个多项式的所有不可约因式（见教材）。

而求最大公因式真正通用而且用有效的方法还是前面已

有的辗转相除法。

本节虽然给出了不可约多项式的定义及性质，但实际上

并没有给出一个判断任何一个多项式是否可约的通用方法。

但对于次数比较低的多项式（5次以下），可以用反证法来判断。

 例1  证明在有理数域上不可约。

           §5   重 因 式

1.重因式的定义：在中，不可约多项式称为多项式

的重因式，如果，但不整除。

当时，称为的单因式，即，但不整除；

当时，统称为的重因式。

例如，设实数域上的多项式，

则是单因式，是2重因式，是3重因式.

由定义，如果的标准分解式为

，

  则是的重因式。其中指数的那些不可约因

式是单因式，指数的那些不可约因式是重因式。

2.如何判断有无重因式

   由于没有一般的方法求一个多项式的标准分解式，

因此，必须寻找别的方法来判断一个多项式有没有重因

式。这里采用最大公因式的方法。

由于最大公因式需要两个多项式，因此引入的导数。设

        ，

定义

       ，

与数学分析中的导数定义一样。 

定理1  在中，如果不可约多项式是的一个

（）重因式，则是的一个重因式。

特别，的单因式不是的因式。

证明  

推论2  在中，不可约多项式是的重因式的

充分必要条件为：是与的公因式。

证明  

推论3  有重因式的充分必要条件是：与有

次数大于零的公因式，即与不互素。

定理3  没有重因式的充分必要条件是：与

互素。

 定理3表明，判断一个多项式有没有重因式，只要

计算。而求最大公因式有统一的方法：辗转相

除法，所以有统一的方法——辗转相除法判断一个多项

式有没有重因式。

例1  判断在有理数域中有无重因式。

例2  证明：中的多项式

没有重因式。

由于多项式的互素性不因数域的扩大而改变，因此有

命题4  一个多项式有无重因式不因数域的扩大而改变。

前面指出，求一个给定多项式的不可约因式分解是一个

很难的问题，特别是当多项式的次数很高时。如果能够

降低多项式的次数且不改变它的不可约因式，则能大大

降低分解因式的难度。这里给出一种方法：    

3. 去掉不可约因式重数的方法

  设的标准分解式为

，

  根据定理1得

          ，

  其中不能被任何整除， 于是

  因此用去除所得的商是

          ，

  把它记作，即

           。

  此时，与有完全相同的不可约因式（不计重数），

的次数比的次数要低且没有重因式。通过求的

因式分解即能得到的因式分解，步骤如下：

 （1）先求；

 （2）求最大公因式；

 （3）用带余除法求除的因式即得；

 （4）求出的全部不可约因式，它们也就是

的全部不可约因式（不计重数）；

   （4）对每一个不可约因式，用反复去除即

得是的几重因式。

  例3   设

，

在中求一个没有重因式的多项式，使它与有

完全相同的不可约因式（不计重数），然后求的标

准分解式。

总结：

定理3  没有重因式的充分必要条件是：与互素。

命题4  一个多项式有无重因式不因数域的扩大而改变。

§6  多项式的根，复数域上的不可约因式

前面：中每个次数大于零的多项式都能唯一分解成

上不可约因式的乘积，由此看出不可约因式起着非常重要的

作用。而且知道，中的每个一次多项式都是不可约的，于是需要进一步研究的是，中有没有次数大于1的不可约多项式。显然，如果是次数大于1的不可约多项式，则没有一次因式。由此，首先要研究中的一个多项式有一次因式的充分必要条件。

1. 余数定理：在中，用去除的余式是。

 证明

 推论2  在中，整除当且仅当。

 注：由余数定理不仅知道，用去除的余式是，

而且由前面的知识，还可以用综合除法求。

例1  设，求。

受推论2中出现的启发，引出多项式的根的概念。

 2. 多项式的根：设是一个数域，是一个包含的有单位

元的交换环，，，如果，则称是

在中的一个根。

在复数域中的根称为复根，在实数域中的根称为

实根，在有理数域中的根称为有理根。有时候实系数多

项式除了在实数域中求它的根外，还需要在复数范围内

求根；同样，有理系数多项式除了求有理根外，还需要

在实数、复数范围内求根，这就是根的定义中为什么要

求包含的原因。

由推论2：在中，整除当且仅当；

及根的定义：，，如果，则称是

在中的一个根。有

定理3 在中，整除当且仅当是在中的

一个根。

即多项式在中有一次因式的充分必要条件是

在中有根。  一个一次因式恰好对应一个根。

由于一次因式有重数概念，于是有

 3. 根的重数：如果是的重因式，则称为的

一个重根。当时，称为单根；当时，称为重

根（不考虑具体重数）。

注：由重因式的定义，有

是的重根是的重因式；

             ，不整除；

              但

不整除；

                 但

  以上过程可以用综合除法去实现。

例2  设

，

判断是的几重根？

由一次因式与根的关系：一个一次因式恰好对应一个根，

得在中的根的个数（重根按重数计算），等于的因

式分解中一次因式的个数（重因式按重数计算），这个数目

不会超过的次数。于是有

定理4  中的次多项式在中至多有个根（重根按

重数计算）。

推论5  设中两个多项式与的次数都不超过。

如果中有个不同元素，使得，

，则。

证明  

 3. 多项式函数

    前面提到的多项式中的只是一个符号或不定元，如果

  让取数域中的数，则得到多项式函数。

设，对于中的每一个数，用代入得

  于是的一个多项式确定了到的一个映射即上

的一个函数，称为由多项式确定的多项式函数，用

表示，即

问：中两个不相等的多项式与，它们所确定

的函数是否相等？

回答是肯定的。

定理6  如果数域上的两个多项式与不相等，

则它们确定的上的多项式函数与也不相等。

证明 

定理8（代数基本定理） 每个次数大于零的复系数多项

式在复数域中至少有一个根。

定理10  每一个次数大于零的复系数多项式，在复数域

上一定有一个一次因式。    

定理11（复系数多项式的唯一因式分解定理）  每个次

数大于零的复系数多项式，在复数域上都可以唯一地分

解成一次因式的乘积：

      ，      （2）

其中是的首项系数，是互不相同的复数，

是正整数。

推论12  每个次复系数多项式恰有个复根（重根按

重数计算）。

根与系数的关系：

 设是首项系数为1的次复系数多项式，它的个复

根记为（它们可以有相同的），于是在复数域上

有因式分解

      。          （3）

又设

，        （4）

  将（3）式右端乘出来，并与（4）的右端相比较，得根与

系数的关系如下：

定理1（复系数多项式的唯一因式分解定理）  每个次

数大于零的复系数多项式，在复数域上都可以唯一地分

解成一次因式的乘积：

      ，    （2）

其中是的首项系数，是互不相同的复数，

是正整数。

   复数域上的不可约多项式只有一次多项式。

定理2（实系数多项式的唯一因式分解定理）  每个次

数大于零的实系数多项式，在实数域上都可以唯一地分

解成一次因式与判别式小于零的二次因式的乘积

      ，     

                  （3）

其中是的首项系数，是互不相同的实数，

是实数，并且满足；，

是正整数。

   实数域上的不可约多项式只有一次多项式和判别式

小于零的二次多项式。

        §8 有理数域上的不可约多项式

 在中，如果有有理根，则有一次因式有理因式，

从而在有理数域中可约，即

如果有有理根，则在有理数域中可约。

  如果没有有理根，则在有理数域中是否可约？

如何判断中次数大于1的多项式有没有有理根？

怎么求有理根？

由于有理数可以写成分数，即整数除以整数的形式，

因此可以把有理系数多项式转化成整系数多项式来处理。

例如

       ，

记，则。注意，是

整系数多项式，而且它的各项系数的最大公因数只有。

1. 本原多项式的定义  一个非零的整系数多项式

         ， 

如果它的各项系数的最大公因数只有，即，

则称是一个本原多项式。

   如果先求出有理系数多项式的各项系数的分母的

最小公倍数，然后提出；再将括号内的整系数多项式

系数的最大公因数提出，这时括号内的整系数多项式便

是本原多项式。即

  任何一个非零的有理系数多项式都与一个本原多

项式相伴。

，存在本原多项式，s.t.， 

  给定一个有理系数多项式，与它相伴的本原多项

式有几个？

2. 本原多项式的性质

引理1  两个本原多项式与在中相伴当且仅当

       。

由引理1，对于一个给定的有理系数多项式，与它

相伴的本原多项式只有两个，它们只相差一个正负号。

如果要求本原多项式的首项系数为正，则与相伴的

本原多项式只有一个。

引理2（Gauss引理） 两个本原多项式的乘积还是本原

多项式。 

定理1  一个次数大于零的本原多项式在上可约，当且

仅当可以分解成两个次数都比的次数低的本原

多项式的乘积。

推论2  如果一个次数大于零的整系数多项式在上可约，则它可以分解成两个次数比它低的整系数多项式的乘积。

定理3  每一个次数大于零的本原多项式可以唯一地

分解成上不可约的本原多项式的乘积。

定理4  设

是一个次数大于0的整系数多项式，如果是的一

个有理根，其中是互素的整数，那么

，。

例1  求的全部有理根。

例2  判断在有理数域上是否可约？

注意  对于次数大于3的整系数多项式，不能从

没有有理根就得出在有理数域上不可约的结论。

这是因为没有有理根，只能说明没有一次因式。

但是可能有次数大于1 的因式，从而可能可约。

例如，没有有理根，但在上可

约，事实上，。

定理5（Eisenstein）判别法  设

是一个次数大于0的整系数多项式，如果存在一个素

数，使得

（1）不整除，即不整除最高次幂（首项）的系数；

（2），，即整除首项系数以外的其它系数；

（3）不整除，即不整除常数项，

则在有理数域上是不可约的。

例3  判断在有理数域上是否可约。

推论6  在有理数域中存在任意次数的不可约多项式。

 例如，，，等。

  有时直接用Eisenstein判别法无法判断是否在有理

数域上可约还是不可约，这时可以将换成，得到另

一个多项式，对用Eisenstein判别法判断

它是否可约，从而判断出原来的是否可约。

命题7 设是次数大于0的整系数

多项式，是任意的整数，令

   ，

则在上不可约的充分必要条件是在上不可约。

或者说

在上可约的充分必要条件是在上可约。

例3 判断在有理数域上是否可约。

 解 令。

例4  设是一个素数，证明多项式

  在有理数域上不可约。

 证明  注意（等比数列求和），从而有

    将换成，得

                   （1）

 由（1）式的

      ，

 令。因为

且是整数，因此

又由于当时，，所以当时，

  。这样得到 

          当时，。        （2）

 于是对于，素数满足Eisenstein判别法的条件，

所以在有理数域上不可约，从而在有理数域上

不可约。    

注意：（2）中的结论很重要，以后还会用到。

   一元多项式部分内容总结与习题解答

一元多项式部分主要以带余除法为主线：

 带余除法

  注意：带余除法的结果不因数域的扩大而改变， 因此

凡是能用带余除法求解的问题，其结果不会因数域的扩

大而改变。有些不能用带余除法求解的问题，如因式分

解、不可约多项式的判定，会因数域的扩大而改变。

  复数域、实数域上的根与因式分解问题。

  有理数域上不可约多项式的判定及有理根的求法。

  部分证明题的解答：

P8 题*8  设的特征多项式为

          ，

证明：的特征多项式为

由此得出：如果是的重特征值，则是的重特征值。 

证  由，将换成得

     ，即

     。从而

     ，

即    ，

或者   。

P20 题9 证明：中两个多项式与不互素的充分

必要条件是，存在两个非零多项式与使得

           ，

其中，  。

证  必要性。设与不互素，令，则

，，其中，

。取，则。

充分性。反证法。若与互素，则。

由得，从而。同理，

由得，从而。这与

，矛盾。所以与不互素。

P21 题*11  设， 证明：如果是

与的一个最大公因式，则齐次线性方程的

解空间等于的解空间与的解空间的交。

证 记的解空间为，的解空间与

的解空间分别为与，要证

则。由，得，，从而 

即。同理，从而，， 

反之，设，则，。

由，有，使得。

令得，从而

  ，

即从而。综上所述有

P21  题*12  设，，记。

证明：如果，则的任意一个解都可唯一

地表示成的一个解与的一个解的和。

证  设是的任意一个解，由得，存在

，使得。从而有

，  。

记，，则，且

，

即是的解。同理可证是的解。

P27 题3  证明：在中当且仅当。

证显然。因为由有，，从而。

设与的标准分解式分别为

    ，，

，，

是互不相同的不可约多项式。则

，。

由。

 P27 题4  证明本节性质2的逆命题为真：即设是

中一个次数大于零的多项式，如果对于任意，

从可以推出或者，那么是

不可约多项式。

证 反证法。假如可约，则，，

。由得。由已知条件得

或者，矛盾。所以是不可约多项式。

P27 *5题 证明：中的一个次数大于零的多项式是

中某一不可约多项式的方幂的充要条件是，对于任意

，必有或者，是某个正整数。

证设，不可约。，要么

要么。若，则。

若，则，，从而

。

  反证法。设，其中，是互

不相同的不可约多项式。令，则

。由题设要么，这与

矛盾；要么，从而必有，或者，

或者，矛盾。所以，即。

P27 *题6 证明：中的一个次数大于零的多项式是

中某一不可约多项式的方幂的充要条件是，对于任意

，从可以推出或者，

是某个正整数。

证由*5题，对，要么要么。

若，结论成立。

若，由，结论成立。

反证法。设，其中，是互

不相同的不可约多项式。令，，则，从而。由题设有或者

，显然矛盾。

P32 题*7  证明：中一个次多项式能被它的

导数整除的充要条件是它与某个一次因式相伴。

证  设，则，显然。

利用去掉的不可约因式重数的方法得

，其中与有相同的不

可约因式，且没有重因式。 设，则

，从而。注意 

，从而，于是。由与

有相同的不可约因式得，的不可约因式只有，

从而。

P38 题5  证明：在中，如果，则

。

  证 由有，从而。

 设是的任意一个根，则，，从而

，这表明是的根，所以。

P38 题6  设，证明：如果

  则1是与的公共根。

 证  由。

  令是的一个根，则也是

的一个根，且。

在两边分别令和，得

    ，

即1是与的公共根。

P38 题7  设，并且，其中是某个

大于1的正整数。证明：在复数域中的根只能是零

或单位根（单位根是指长度为1的根）。

证  由有。设是在复数域中的

任何一个根，则，从而有。即：如果是

的一个根，则也是的一个根。如此反复进行下去，

对任意正整数，都是的根。而只能有有限多个

根，所以，使得，则要么，要么。

两边取绝对值或模，得，为单位根。

P40 *4题  证明：如果阶实矩阵与不相似，则把它

们看成复矩阵仍然不相似。

证  反证法。若与看成复矩阵相似，则存在阶复矩阵

使得或者。设，其中都是实矩

阵。将代入得，。从而任给实

数有。考虑行列式，它是的一个

次多项式，最多有个实数根。因而存在实数使得

，即是一个可逆实矩阵，且满足，

即，则实矩阵与相似，这与题设矛盾。

P48 题7  设是个互不相同的整数，

        ，

证明：如果是奇数，则在有理数域上不可约。如果

是偶数，在有理数域上是否不可约？

证  反证法。假设是奇数时在有理数域上可约，则

， 

于是    

 由于与均为整数，从而与同为1或同为。

 由此得出，即， 设

  ，则，即有个互不相同的根。

 但，只能，即，

 从而，的次数必为偶数，矛盾。所以是奇数

时在有理数域上不可约。

  当是偶数时，可能可约，也可能不可约。如，

可约；不可约。

P48 题*8  设是个互不相同的整数，

         ，

证明：在有理数域上不可约。

证  反证法。与题7类似，假设在有理数域上可约，

则， 从而与一个为1

另一个为，即总有令，则有

个互不相同的根。但，只能，即，

从而。这与的首项系数为1矛盾，所以在

有理数域上不可约。

P48 题*9  设是个互不相同的整数，

           ，

证明：在有理数域上不可约。

证  同前面，反证法。假设在有理数域上可约，则

， 

于是   

从而与同为1或。由于恒为正，因此没

有实根，从而也都没有实根，这样只能全为1

或全为。否则，若，则由零点定理，

在与之间存在实根，矛盾。不妨设，

此时也有。

（1）若与中有一个的次数小于，不妨设

 由于，因此，由此推出，

，与矛盾。

（2）若，由于，因此

         。

  同理，。

 从而

     。

 由此推出，矛盾。

   因此在有理数域上不可约。

            §9  多元多项式

是二元多项式；

是三元多项式。

上册学过的二次型

是元多项式。一般地，有

1. 多元多项式的定义：设是一个数域，是个

  不定元，称表达式

    ，         （1）

 为数域上的元多项式，其中，是

非负整数，称为一个单项式，是它的系数。

如果两个单项式的的幂指数都对应相等，则称

这两个单项式为同类项。同类项可以合并，约定：元多项

式中的单项式都是不同类的。

2. 单项式与多项式的次数  

  称为单项式的次数，元多项式

中系数不为零的单项式的次数的最大值称为

的次数，用表示。

零多项式的次数规定为。

例如，3元多项式

的各单项式的次数依次为：4，4，4，3，2，因而该多项

式的次数为4。其中的次数都是4，但它们

并不是同类项。

 3. 多元多项式的加法与乘法

   数域上所有元多项式组成的集合记作。

 在中定义加法与乘法如下

               （2）

                （同类项的系数相加）

           ，               （3）

 其中。            （4）

 4. 单项式的排列顺序：字典排列法

的次数是4，其中的次数都是4，那么三个

单项式的先后顺序怎么排列？

一个多元多项式的首项怎么确定？

 每一个单项式对应一个元有序数组。

对于两个元有序数组与，如果，

，，则称优先于，记作

         。

例如，，。

  元有序数组之间的关系具有传递性，即如果

  ，，

则      。

理由如下：设中第一次出现

的位置在第项，中第一次出

现的位置在第项。是与中较小的那一个，则

由即得成立。

  给出了元有序数组之间的排列顺序后，元单项式之

间也有了一个先后顺序，这种排列顺序类似于英文单词

的排列顺序，因此称为字典排列法。例如

就是按字典顺序排列法排列的结果：

  又如  

按字典顺序排列法排列的结果是

     ， 

 5. 多元多项式的首项：按字典顺序排列法写出来的第一个

系数不为零的单项式称为元多项式的首项。

 例如，上面多项式的首项是

但要注意，首项不一定具有最大的次数，这一点与一元

多项式不同。 

例如上面多项式的次数是7，而首项

的次数为6.

虽然元多项式的首项不一定具有最大的次数，但元

多项式的下述性质确与一元多项式相同：乘积的首项等

于首项的乘积。

定理1 在中两个非零多项式的乘积的首项等

于它们的首项的乘积。

由定理1可以得出：两个非零多项式的乘积仍是非零

多项式。这是因为非零多项式的首项一定是非零的，而

两个非零多项式的乘积的首项等于它们的首项的乘积，

因而乘积之后的首项也是非零的，不可能是零多项式。

  由此又可以得出：多元多项式的乘法满足消去律。

推论2  在中，如果，则

的首项等于每个的首项的乘积。

观察：

的每个单项式的次数为3；

的每个单项式的次数为4.

一般地，有

6. 齐次多项式  数域上的次多项式称为

次齐次多项式，如果它的每个系数不为零的单项式的次

数都为。

因此，是3次齐次多项式；

   是4 次齐次多项式。

  显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，且乘积

之后的次数等于这两个齐次多项式的次数之和。

对于非齐次多项式此结论是否也成立呢？答案是肯定的。

 定理3  设，是中的

任何两个元多项式，则

           。          (5)

以下定理给出了齐次多项式的一个重要性质。

定理6  设且，是一个非

负整数。则是次齐次多项式的充要条件是：

对于，都有

       ，   （12）

 *当时，中没有带余除法，因而没有最大

公因式、互素等概念。但有因式分解，只是远比一元多

项式的因式分解复杂。

一元多项式中有多项式和多项式函数，类似地，也有元

多项式和元多项式函数。如果将元多项式

中的不定元取数域中的数，则由此产生的函数

称为元多项式函数，记为，而且有以下类似定理：

定理5  设，如果

多项式与不相等，则由它们确

定的多项式函数与也不相等。 

元多项式也有所谓“通用性质”：即在关于元多项式

的等式中，可以将不定元分别换成任意其它

元多项式，或将分别换成数域上的任何矩阵。

 §10 对称多项式

观察：

,

将两两任意交换位置，所得多项式保持不变；而

却不具备此性质。

 1. 对称多项式的定义  设，如果

任意交换的位置，所得多项式都保持不变，则

称是一个元对称多项式。即都有

注：由对称多项式的定义知，如果一个元对称多项式

含有一项，则同时含有

一切形如    

  的项，其中取的所有元排列。

   例如，如果3元对称多项式含有一项，则

应当含有一切形如的项，其中是

的任意3元排列。从而应当还含有下列5项：

        ，，，，，

于是3元对称多项式中，含有的项数最少的对称多项

式为

    。

2. 对称多项式的结构

 记中所有对称多项式组成的集合为，本节

的剩余部分主要讨论的结构。

命题1  是的一个子环。

 命题2  设是个元对称多项式， 

是任意一个元多项式，则

总是对称多项式。

注：命题2表明，如果知道了中的个元对

称多项式，那么就可以得到无穷多个元对称多项式。

问：能否找到个最基本的对称多项式，使得用命题2的

方法能够得到所有的元对称多项式，亦即每一个元对

称多项式能否都可以用命题2 的方法得到。如果能的话，这样的基本对称多项式怎么找？

  受到多项式的根与系数之间的关系

的启发，考虑如下个元多项式：

       ,

,

………………….

,

…………………..

.

  不难验证，都是对称多项式，称为

  初等对称多项式，以下定理表明它们就是要找的基本

对称多项式。

 定理3（对称多项式基本定理） 对于中的任

意一个对称多项式，都存在中

唯一的多项式，使得

 例1  在中，用初等对称多项式表示对称多项式

           。

 解  方法一：首项消去法。的首项是，它的幂

指数组为（2, 2, 0）. 作多项式

           ，

  令       

         。

的首项是，它的幂指数组为（2, 1, 1）. 令

           ，

   于是  。

待定系数法：基本定理的证明过程中指出，序列（10）

中的首项的幂指数组必满足:

，

其中是的首项的幂指数组。满足上述条件的非

负整数组只有有限多个，把它们全部找出来，

每一个这样的幂指数组都对应一个, 再将表示成的

线性组合，并通过取特殊值确定系数，这就是是我的

带定系数法。这种方法特别适合齐次对称多项式。

例2  用待定系数法求解例题1：

在中，用初等对称多项式表示对称多项式

          。

解的首项的幂指数组为（2, 2, 0），求

要求它满足条件：。注意本题中的还是

4次齐次多项式，因此还满足

       ，。

满足上述条件的数组只有两组：(2, 2, 0) 和(2, 1, 1)。记

   ，  。

令      ，待定。

取，得; 取

得。于是有

解得  ，

所以  。

比较两种办法得出：待定系数法要好于首项消去法。

例3 在，用初等对称多项式表示对称多项式

          。

 解  的首项的幂指数组为(2, 2, 0, …, 0)，且

是4次齐次多项式，所以应该满足条件：

，。

满足上述条件的数组共有三组：

(2, 2, 0, …, 0)，(2, 1, 1, 0, …, 0)，(1, 1, 1, 1, 0, …, 0)，

记

  ，

,

,

令

，是待定系数。

用1, 1, 1, 0, …, 0代替得的值为3， 

的值依次为3，3，1，0； 用1, 1, 1, 1, 0, …, 0代替

得的值为6，的值依次为4，6，

4，1．代入上式 得

解得  ，

所以  。

*补充：次方程的判别式。

  对称多项式的一个重要应用是关于次方程的判别式

的推导。

众所周知，二次方程的判别式为。

问：它是怎么得来的？ 分析：    

有重根当且仅当。设的

两个根为，则有重根当且仅当. 

注意是关于的对称多项式，将它用

表示为

.

  再由根与系数的关系：得

         ,

这就是二次方程的判别式的来历。

  对于一般的次方程

      ，       （1）

设它的个根为，则上述次方程有重根的充要

条件是。 称

                     （2）

  为方程（1）的判别式。由于是

  的对称多项式，由前面对称多项式的基本定理，存在

，使得

再由根与系数的关系，

         ，

从而得到次方程的判断式

       。      （3）

注意：理论上讲，任何次方程都有判断式，但由于

的次数非常高（次），首项

也比较复杂，因此无论用首项消去法还是待定系数法，

把表示成的多项式的过程都

比较复杂，实施起来非常困难。

  如在简单的的情形，是一个6次

齐次多项式，首项为, 幂指数为(4, 2, 0)。即使按待

定系数法，满足条件：

         ， 

的幂指数组也有8个（？）。再考虑首项系数为1，待定

系数也有7个，要解一个7元线性方程组，不容易，何

况很大的情形。

  一般次方程的判断式的求法，需要用到牛顿(Newton)

公式。 

其大致思路如下: 引入Vandermonde 矩阵

，

  它的行列式，且。因此

，即

    引入如下对称多项式

         ， 

 称为的幂和，用可将表示成

 只要将用初等对称多项式表示，即可得到次

方程的判断式。

将用初等对称多项式表示的公式就是牛顿

(Newton)公式：

（1）当时，

    ；

（2）当时，

    。

（详细推导过程这里省略）。

以时，考虑一般3次方程

的判别式。

取，由（1）得

；

；

。

    取，由（2）得

      。

   从而得到3次方程的判别式

。

  实际上这个行列式很难算，于是先考虑简单的3次方程

          ，

  相当于，代入上面的行列式中得

        。       

  再将换成得

      ，

  取，得

         。

  这就是一般3 次方程的判别式。

不容易，何况任意次方程的情形。