(完整版)高中数学等差数列教案

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题           

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，…   和  ② 3000，2995，2990，2985，…

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：   

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差

2．等差数列的通项公式：【或】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：

即：

即：

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项

如数列①1，2，3，4，5，6； （1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，…； （n≥1）

数列③        （n≥1）

由上述关系还可得：

即：

则：=

即的第二通项公式        ∴ d=

如：

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由     n=20，得

⑵由      得数列通项公式为：

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例2 在等差数列中，已知，，求,,

解法一：∵，，则    ∴

解法二：∵

     ∴    

小结：第二通项公式  

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论  

解：通过计算发现的值恒等于公差

证明：设等差数列{}的首项为，末项为，公差为d，

⑴-⑵得    

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度

解：设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，

由已知条件，可知：=33,  =110，n=12

∴,即10=33+11   解得：  

因此，

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 

分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数

解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））

为常数

∴{}是等差数列，首项，公差为p

注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=p n+q (p、q是常数)称其为第3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个

四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）

∴=4×4－1=15, =4×10－1=39.

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.

解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,   ∴=－2×20+12=－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

解：根据题意可得：=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15,   ∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.  解：由题意可知：=0,  d=－3  ∴此数列的通项公式为：=－n+,   令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.

2.在等差数列{}中，（1）已知=10,=19,求与d;

（2）已知=9, =3,求.

解：（1）由题意得：,   解之得：.

（2）解法一：由题意可得：,  解之得

∴该数列的通项公式为：=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴=0

解法二：由已知得：=+6d,即：3=9+6d,∴d=－1

又∵=+3d,∴=3+3×（－1）=0.

Ⅳ.课时小结

五、小结  通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.