2011级常微分方程考试试卷

1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A   ）个．

    （A）         （B）-1        （C）+1         （D）+2

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ B   ）条件．

（A）充分      （B）必要      （C）充分必要     （D）必要非

3、若是齐次线性方程组的一个基解矩阵，为非奇异常数矩阵，那么是否还是此方程组的基解矩阵（ B   ）.

               (A) 不是  　　　 (B) 是　 　 (C) 也许是　　　 (D) 也许不是

4．方程（  C  ）奇解．

（A）有一个      （B）有两个      （C）无      （D）有无数个

5、给定常系数线性微分方程组，如果A的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则它的任一解当时，都趋于（     D       ）．

(A) 零；　　 (B)  一个固定的常数；  (C) 无穷大； 　(D)　保持有界．

二、填空题

1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为              ．

2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是  xoy平面        ．

3. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于

    n      个，其中，．

4．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是  线性无关     ．

5、9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的充分必要         条件是它们的朗斯基行列式   

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1..解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

解：，令z=x+y则

所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+

即

2、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

解： 设f(x,y)= ,则

       故在的任何区域上存在且连续，

       因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

 显然，是通过点（0，0）的一个解；

 又由解得，|y|=

 所以，通过点（0，0）的一切解为及

|y|=

3、试求方程组的一个基解矩阵，并计算

解： det()=

所以， 

        设对应的特征向量为

        由

        取

        所以， = 

4.书上P350例1

5、试讨论方程组   （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。

解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件

        ，故奇点为原点（0，0）

        又由det(A-E)=得

        所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a，c为实数

四、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果满足初始条件的解，那么

 证明： 设的形式为=     （1）

          （C为待定的常向量）

则由初始条件得=

          又=

          所以，C==

          代入（1）得=即命题得证