圆锥曲线 教学案

教学目标

1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，

掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。

2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。能用数学符号或自然语言

描述双曲线的定义。

教学重点、难点

重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。 

难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义

教具 

多媒体课件、实物投影仪

内容分析

本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭

圆、双曲线和抛物线的概念。这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从

整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平，

要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。这是建立在

学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数

学素养。

学法指导

教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理

解。对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出

放进双球后的图形，再引导学生发现"到两切点距离之和为定值"的特性，这一内

容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。

教学过程设计

1．问题情境

我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条

相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位

置，观察截得的图形的变化情况。

提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？

2．学生活动

(1)古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以

MF1 = MP，MF2 = MQ， 

（2）如图，两个球都与圆锥面相切，切点轨迹分别是

⊙O1和⊙O2；同时两球分别与截面切于点F1 、F2．

设M是截线上任意一点，则MF1、MF2是由点M向两个

球所作的切线的长，又圆锥过点M的母线与两球分别切

于P、Q两点．

|MF2－MF1|＝| MQ－MP |＝QP  (常数)

(3)如图，球与圆锥面相切，切点轨迹是⊙O，同时球

与截面切于点F．设M是截线上任意一点，则MF是由

点M向球所作的切线的长，又圆锥过点M的母线与球

切于点P．设⊙O所在的平面为α， MH⊥α于H，截

面与平面α交于l，HN⊥l 于N，则MN⊥l ．

MF ＝ MP＝ MN 

学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：                                   

对于Dandelin双球理论只要让学生感知、认同即可。

3．建构数学

（1）圆锥曲线的定义

推导说明(1)中截法中，截线上任意一点到两个定点的距离的和等于常数。

椭圆：平面内到两定点的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，两

个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

说明：若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 

则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 

当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ；

当 0 < a < c时，动点M无轨迹

(2) 双曲线的定义

对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。（类比椭圆的定义）

双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

说明：若动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 

当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 

当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线；

当 0 < c < a时，动点M无轨迹

（3）抛物线的定义

对于第三种情形，平面与圆锥曲线的截线是一条曲线构成。

抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点轨

迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。

 说明：(1)点F不能在直线l上，否则其轨迹是过点F且与l垂直的直线

(2)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点和一条准线

圆锥曲线的定义： 

4．数学应用

例1、试用适当的方法作出以两个定点 ， 为焦点的一个椭圆。

思考：在椭圆的定义中，如果这个常数小于或等于 ，动点的轨迹又如何呢？

例2、曲线上的点到两个定点F1(-5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于

①6 ②10 ③12是什么样曲线？若不存在，请说明理由

例3、到定点F(1,1)和定直线l：x+y-2 = 0的距离相等的点的轨迹是什么？

例4、已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过F且与直线l相切，

求证：圆心M的轨迹是一条抛物线。

变题：已知定点F和定圆C，F在圆C外，动圆M过F且与圆C相切，

探究动圆的圆心M的轨迹是何曲线？

拓展：此处定点F也可改成定圆（可留作优生课后思考）

课堂练习

练习1.

2.P24习题1.ΔABC中,B(-3,0),C(3,0),且AB,BC,AC成等差数列.

(1)求证:点A在一个椭圆上运动;

(2)写出这个椭圆的焦点坐标.

习题2. ΔABC中,BC的长为6,周长为16,那么顶点A在怎样的曲线上运动?

5．回顾小结

（1）三种圆锥曲线的定义

（2）三种圆锥曲线的定义式

6．作业布置（1）创新训练（2）思考：课本第25页3、4