概率论与数理统计 第九章 方差分析与回归分析

注意：这是第一稿（存在一些错误）

1．解：

()()()2

1

1

,,n n

i

i

i i i i L f y y f y x αβσ

ε

αβ======−−∏

∏(

)

(

)

()2

2

1

2

2

221

1

n

i i i i i y x y x n

n

i e

αβαβσ

σ=−−−−−−

=∑==

()(

))

()

2

221

2

,,ln ,,ln

2n

i i i y x l L n αβαβσαβσσ=−−==−−

∑()()()()()()212

212

2

21242,,0,,0,,1022n

i i i n i i i i n i i i y x l y x x l y x l n αβαβσασαβαβσβσαβαβσσσσ===⎧

−−⎪∂⎪==∂⎪

⎪

−−⎪∂⎪

==⎨∂⎪

⎪−−⎪∂⎪=−=⎪∂⎪⎩

∑

∑∑解得2ˆˆ,ˆ,ˆ.xy

xx

y x s s SSE n αβ

βσ

⎧

⎪=−⎪

⎪=⎨⎪

⎪=⎪⎩

则α、β的极大似然估计与最小二乘估计一致。2σ的极大似然估计为

SSE n ，最小二乘估计为2

SSE n −，为2

σ的无偏估计。

2．

解：（1）由题意，知

0123:H µµµ==，1123:,,H µµµ不全相等

计算有1

1231

2.54

n

i i i x n x n n n ⋅===++∑3

2

1()0.738i A i i S n x x ⋅==−=∑，3

21() 5.534

i

n T ij i i j

S x x ===−=∑∑4.796E T A S S S =−=，/(31)0.369

A A MS S =−=123/(3)0.178E E MS S n n n =++−=，/ 2.077A E F MS MS ==所以单因素方差分析表为：方差来源自由度平方和均方F 比因素A 20.7380.369 2.077

误差27 4.7960.178

总和

29

5.534

由于 2.077F =<(2,27) 3.3541F α=，接受0

H （2）2σ的无偏估计量为：123/(3)0.178

E E MS S n n n =++−=3．

解：

(1)61n =，4r =,

(2)0.05(3,57) 2.76 3.5F ≈<,则拒绝原假设，即认为不同年级学生的月生活费水平有显著差异。

4．

解：（1）利用Excel 差异源SS df MS F 组间18.6573329.32866713.59203组内8.236120.686333

总计

26.33314从表中可以看出，三个车间生产的低脂肪奶的脂肪含量有显著差异；（2）由（1）中的表，可知0.686

E MS =

（3）由于2σ未知，用t

2~(2)X t n −，2µ得置信水平为0.95

的双侧置信区间为：

(2

2/2222/22(1)/(1)/(5.593,7.207)

X

S t n X S t n αα−−+−=（4）利用130页（二）（b ），可以知道：23µµ−德置信水平为0.95的置信区间

为：

23/223((2)X X t n n S α−±+−其中：2

2

2

223323(1)(1)2

n S n S S n n ω−+−=

+−经查表及计算得到：23µµ−德置信水平为0.95的双侧置信区间为：( 3.862, 1.578)

−−5．

解：4r =，10n =，.1

1

i

n i ij

j i

X X

n ==

∑，2,1,3,2,

3,3,2, 4.

i i i n i i =⎧⎪=⎪

=⎨=⎪⎪=⎩，411

110i n ij i j X X ===∑∑，()()44

2

2

..111502i

n A i i i i j i S X X n X X ====−=−=∑∑∑，

()()4

2

2

111

654i

n r

T ij i ij i j i S X X n X X ====−=−=∑∑∑，

152E T A S S S =−=，

()1167.33A A MS S r =−=，()25.33E E MS S n r =−=，则6.61A E F MS MS ==，查表得0.05(3,6) 4.76 6.61

F ≈<故拒绝原假设，即认为四种新外观对销量有显著差异。

6．

解：可以通过Excel 来做

7．

解：(1)8n =

，r =

()

2

1

n

xx i

i s x x ==

−∑，1

1n

i i x x n ==∑，

()

2

1n

yy i i s y y ==−∑，1

1n

i i y y n ==∑，

()()1

n

xy i i i s x x y y ==−−∑，代入数据得0.7985r =，不为0，即相关。

(2)ˆ16.428xy xx s s β==，ˆˆ135.362y x αβ=−=，则ˆˆˆ135.36216.428y x x αβ=+=+。(3)2

σ的无偏估计为()2

2

211

11ˆ8792822n n i i i i i s e y y n n ====−=−−∑∑。(4)2ˆ928404xx SSR S β==，ˆ527568yy xy SSE S S β=−=，1455972yy

SST S ==，()

10.562SSR

F SSE n =

=−，查表得0.05(1,6) 5.99F F ≈<，

故拒绝原假设，即认为回归方差显著。

3.249t ==，查表得()()0.02526 2.4469t n t t α−==<，

故拒绝原假设，即认为回归系数检验显著。

(5)()E y 的置信水平为1α−的置信区间为()

2ˆ2y t n α⎛⎜±−⎜⎝

，由已知条件得，()E y 的置信区间为()843,1399，估计值为

8431399

11212

+=。(6)y 的预测区间为(

)2ˆ2y t n α⎛⎜±−⎜⎝，由已知条件得，y 的预测区间为()344,18，预测值为

34418

11212

+=。

8．解：（1）用Matlab 可以画出Y 与X 的散点图，

300

350400450500550600650700750从图中可以看出不是线性关系（2）由题意得：2ln ln ~(0,)i i i i

y x N αβεεσ=++⎧⎪⎨⎪⎩利用最小二乘估计，得到：

^

^^

ln /xy xx y x s s αββ⎧=−⎪⎨⎪=⎩

从而可以求出lnY 的线性回归方程。

用Matlab 也可以作出lnY 关于lnX 的线性关系：

5.75.85.9

6.16.26.36.46.56.66.7Y 比采用lnY 结果要好。

9．

解：(1)线性回归模型为

()011222

,1,2,,16,

0,i i i i i y x x i N βββεεσ=+++=⎧⎪⎨⎪⎩

⋯∼且相互。，其中j β，0,1,2j =，和σ为未知参数。采用最小二乘法得()1ˆX X X Y β−′′=，其中11

12212212111n n x x x

x X x x ⎛⎞⎜⎟⎜

⎟=⎜⎟

⎜

⎟⎝⎠⋮⋮⋮，12n y y Y y ⎛⎞

⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠

⋮，代入数据得回归方程为12ˆ33.85 5.15 4.38y

x x =++。(2)()2

1

ˆn

i i SSR y

y ==

−∑，(

)

2

1

n

i i SST y y ==

−∑，()2

1

ˆn

i

i i SSE y y ==

−∑，16n =，2

p =代入数据得()1SSR p

F SSE n p =

−−，查表得0.05(2,13) 3.81F F =<，故拒绝原假设，即认为

回归方程显著。

ˆj t β=

，1,2j =，s =

，代入数据分别得1t 和2t 的值，查表得

()0.02513 2.1604t t =<，故拒绝原假设，即认为回归系数检验显著。

(3)线性假设成立，方差齐性，性满足。