等比数列的概念教学设计

导

入

（１）等差数列的定义；

（２）等差数列的通项公式；

（３）计算公差d的方法；

（４）等差中项的定义及公式．

*

学生动手操作：

把一张纸连续对折5次，试写出每次对折后纸的层数．

通过学生动手操作可得折纸的层数是

2，4，8，16，32．

教师提出问题．

学生思考回答．

@

教师用问题引导学生观察相邻两项的关系，根据前面所学等差数列的知识，尝试给出等比数列的定义．

回顾以前学过的知识，为知识迁移做准备．

通过动手操作解答问题，体验数学发现和创造的过程．

新

课

【

<

?

新

课

；

$

（

:

新

课

：

>

"

新

课

、

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比．公比通常用字母“q”表示． 

练习一

抢答：下列数列是否为等比数列

① 8，16，32，，128，256，…；

② 1，1，1，1，1，1，1，…；

￥

③ 243，81，27，9，3，1，，…；

④ 16，8，4，2，0，－2，…；

⑤ 1，－1，1，－1，1，－1，1，…；

⑥ 1，－10，100，－1000，…．

注意：

（1）求公比q一定要用后项除以前项，而不能用前项除以后项；

（2）等比数列中，各项和公比均不为0；

*

（3）q= 1时，{an}为常数列．

2．等比数列的通项公式　

首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式可以表示为

an = a1 q n－1．

根据这个通项公式，只要已知首项a1和公比q，便可求得等比数列的任意项an．

事实上，等比数列的通项公式有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个． 

|

练习二　 

已知一个等比数列的首项为1，公比为－1，求这个数列的第9项．

练习三

求下列等比数列的第4项和第：

（1）5，－15，45，…；

（2），，…；

（3），，，…；

|

（4），1，，…．

例1  已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．

解  设这个数列的第一项是a1，公比是q ，则

a1q2 = 12，       ①

a1q3 = 18．       ②

解①②所组成的方程组，得

q = ，a1 = ，a2 = a1q =× =8．

'

即这个数列的第1项是，第2项是8．

练习四

1．一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项．

2．一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项．

例2  将20，50，100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q.

解  设所加常数为a，依题意20+a，50+a，100+a成等比数列，则

>

＝，

去分母，得(50+a)2 ＝(20+a) (100+a)，即

2 500+100 a + a2＝2 000+120a + a2，

解得a＝25．

代入计算，得＝＝，所以公比q ＝．

3．等比中项的定义

在2与8之间插入一个数4，那么2，4，8成等比数列．

一般地，如果a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项．

*

4. 等比中项公式

如果G 是a与b的等比中项，则

G 2 = a b ，即G =±．

容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

练习五

求下列各组数的等比中项：

…

（1）2，18；　　　（2）16，4．

学生对比等差、等比两数列的异同．

&

教师出示题目．

学生思考、抢答．

师问：你能说出练习一中，等比数列的公比吗

教师出示练习一中的等比数列．

学生说出各题的公比 q．

师：等比数列中，某一项可以为0吗公比q可以为0吗为什么

师：常数列是等比数列吗

》

学生根据定义，得出结论．

师：请仿照等差数列通项公式的推导过程，归纳总结等比数列的通项公式．

学生分组探究．

a2= a1 q，

a3=   q =    q = a1   ，

a4=   q =    q = a1   ，

|

……

an = a1    ．

练习时请个别学生在黑板上做题．

教师订正．

学生做练习三．

】

教师引导学生分析本题，已知什么求什么怎么求

】

教师启发学生，当用一个式子解决不了问题的时候，考虑构成方程组来解决．

教师板书解题过程．

引导学生注意求公比的方法：两式相除．

&

学生解答练习四．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导．

^

教师引导学生利用等比数列的定义列出方程．

[

由特殊数列2，4，8引出等比中项的定义．

师：2，－4，8是否构成等比数列－4是不是2和8的等比中项

学生思考、合作探究，得出等比中项公式．

。

教师引导学生注意等比中项的值有两个．

学生口答练习五．

师生统一订正．

培养学生发现问题，类比推导与归纳总结的能力．

?

通过一组练习题，加深学生对等比数列定义的理解．

用抢答的方式，激发学生的思维，调动学生的学习积极性．

在教师的引导下，结合等比数列定义，归纳得出结论，提高学生发现问题、解决问题的能力．

《

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力和合作意识．

—

巩固加深对等比数列概念及其通项公式的理解，能运用等比数列解决一些简单的实际问题．

，

教师注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法．

,

通过练习，让学生进一步掌握等比数列中，求公比的独特方法．

此题看似复杂，实际上学生自己可以完成．

另外例2的思路与以下等比中项的思路一致，可以在讲完等比中项以后让学生再回顾此题．

培养学生发现问题，进行类比、推导以及归纳总结的能力．

结

2．等比数列的通项公式．

3．等比中项的定义及公式．

4．等比数列定义与通项公式的应用．

教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．

业