人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有

AB +BC + CD +DA =0；

②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；

③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。 A .1 B .2 C .3 D .4

2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )

A .（

41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3

2

） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，

AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则

4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.

5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为

( )

A .

1010 B . 1

5

C .

31010 D . 35

2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足

0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，

0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定的

3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且

∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；

_C

_D

_A

_P

_ N

_B

_M

（2）当

1

CD

CC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为

M 31

(0，

，)22

-，则(，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--

2．已知(2，2，4)a

=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )

A ．可构成直角三角形

B ．可构成锐角三角形

C ．可构成钝角三角形

D ．不能构成三角形

3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]

4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .

5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为

2a .建立适当的坐标系，

⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.

3.2立体几何中的向量方法

1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．2

22{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．2

22{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．2

22{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．2

2

2

{(,,)|(1)

(1)2}x y z x y z -++-=

2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．

3

3 D ．

2

3 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -

，90

BCA ∠=，

2AC BC ==，1A 在

底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.

（1）求证：

1AC ⊥平面1A BC ；

D 1

C 1

B 1

A 1

D

A

B

C

C 1 B 1 A 1

B A

（2）求1C 到平面1A AB 的距离；

（3）求二面角

1A A B C --余弦值的大小.

B 4. 如图，在直三棱柱111AB

C A B C -中， AB =1

，1AC AA ==

(1)证明：1AB

A C ⊥； （2）求二面角A —

1A C —B 的大小.

5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；

（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.

参

第三章 空间向量及立体几何

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1.A

2.A

3.3

2

4.3a +3b －5c

5.

如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.C

2.B

3. ③④

4.（1）设1

,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，

BD CD CB b a =-=- ，所以

1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设

则 2

CC =x

， 设1,,A A a AD b DC

c ===，

11,A C a b c C D a c =++=-，

2

2

112

42

()()6A C C D a b c a c a a b b c c x

x ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=

+

-，

令24

260x

x +-=，则2

320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍

去），

_C

_D _A

_P

_ N _B _M _E

A 1

§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.16

5. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）

A 1（0，0，

2a )，C 1

（-23a ，a 2,2

a

) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2

a

）

，连结AM ，MC 1

则有

所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.

因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.

∴2

194

a AC AM ⋅=

，而|13

|

|3,||2

AC a AM a ==，

由cos<

1,AC AM >=

113

2

||||AC AM AC AM ⋅=

，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网

1.A

2.C

3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，

所以DE

AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，

以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则

()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，

()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1

A C C

B ⊥， 又1

1BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .

（2）由1AC ⋅2

130BA t =-+=，得t =.

设平面

1A AB 的法向量为

(),,n x y z =，(1

AA =，()2,2,0AB =，所以

10

220

n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨

⋅=+=⎪

⎩，设1z =，则(

)3,n =-，

所以点1C 到平面

1A AB 的距离

1AC n d n

⋅=

=

7

. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，

所以

130

20

m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨

⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，

故cos ,m n m n m n

⋅<>=

=⋅7

7

-

，根据法向量的方向，

可知二面角

1A A B C --的余弦值大小为

77

. 4.（1）

三棱柱

111ABC A B C -为直三棱柱，

由正弦定理030ACB

∠=.

如右图，建立空间直角坐标系， 则

1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A

(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，

设平面

1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，

则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，）

， 不妨取1,(3,1,1)m

n ==则，

1

A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5

. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，

由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，

OB OC OS ，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，

建立坐标系O xyz -如右图.

设底面边长为a ，则高62SO a =

.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2

(0,,0)2

C a ，2(0,

,0)2OC a =，26

(,0,)22

SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26(

)2DS

a =，平面DAC 的一个法向量600a

OS =（，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DS

θ⋅=

=

，得所求二面角的大小为30°.

_C

_A

_S

_F

_B

O

（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且

),(0,)DS CS ==.

设,CE

tCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 1

03

BE DC t ⋅=⇔=

.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军