北京理工大学数字信号处理实验二 利用DFT分析信号频谱

姓名：明眸皓齿王师傅

班级：******

学号：*********

实验时间：第十二周周三下午第二大节

一．实验目的

1、加深对DFT原理的理解。

2、应用DFT分析信号的频谱。

3、深刻理解利用DFT分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。

二．实验设备与环境

计算机、MATLAB软件环境

三．实验原理

1.DFT与DTFT的关系

有限长序列的离散时间傅里叶变换在频率区间的N个等间隔分布的点上的N个取样值可以由下式表示：

由上式可知，序列的N点DFT，实际上就是序列的DTFT在N个等间隔频率点上样本。

2.利用DFT求DTFT

方法1：由恢复出的方法如图2.1所示：

由图2.1所示流程可知：

由式2-2可以得到

其中为内插函数

方法2：然而在实际MATLAB计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。由于DFT是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为，所以如果我们增加数据的长度N，使得到的DFT谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT的结果，这样就可以利用DFT来近似计算DTFT。如果没有更多数据，可以通过补零来增加数据长度。

3.利用DFT分析连续时间信号的频谱

采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续时间信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。

对于连续时间非周期信号，按采样间隔T进行采样，截取长度M，那么

对进行N点频域采样，得到

因此，可以将利用DFT分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下：

（1）确定时域采样间隔T，得到离散序列；

（2）确定截取长度M，得到M点离散序列，这里w(n)为窗口函数。

（3）确定频域采样点数N，要求。

（4）利用FFT计算离散序列的N点DFT，得到；

（5）根据式(2-6)由计算采样点的近似值。

四．实验内容

1.已知，完成如下要求：

（1）计算其DTFT，并画出区间的波形。

（2）计算4点DFT，并把结果显示在（1）所画图形中。

（3）对补零，计算点DFT，并显示结果。

（4）根据实验结果，分析是否可以由DFT计算DTFT，如果可以，如何实现。

（1）代码：

x=[2,-1,1,1]

n=0:3

w=-pi:0.01*pi:pi

X=x*exp(-j*n'*w)

subplot(2,1,1)

plot(w,abs(X))

xlabel('\\Omega/\\pi')

title('Magnitude')

axis tight

subplot(2,1,2)

plot(w,angle(X)/pi)

xlabel('\\Omega/\\pi')

title('Phase')

axis tight

（2）代码：

x=[2,-1,1,1]

n=0:3

w=-pi:0.01*pi:pi

X=x*exp(-j*n'*w)

subplot(2,1,1)

plot(w,abs(X))

xlabel('\\Omega/\\pi')

title('Magnitude')

axis tight

subplot(2,1,2)

plot(w,angle(X)/pi)

xlabel('\\Omega/\\pi')

title('Phase')

axis tight

y=fft(x)

subplot(2,1,1)

hold on

stem(0:3,abs(y),'fill')

title('Magnitude')

subplot(2,1,2)

hold on                       

stem(0:3,angle(y)/pi,'fill')

ylabel('/\\pi')

title('Phase')

（3）代码：

x=[2,-1,1,1]

x=[x,zeros(1,60)]

y=fft(x,)

subplot(2,1,1)

stem(0:63,abs(y),'fill')

title('Magnitude')

axis tight

subplot(2,1,2)

stem(0:63,angle(y)/pi,'fill')

xlabel('\\Omega/\\pi')

ylabel('/\\pi')

title('Phase')

（4）由DFT可以计算出DTFT。从上面几个图中我们可以看出，DFT可以看作是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为，所以如果我们增加数据的长度N（即减小点与点之间的间距），得到的DFT谱线就更加精细，其包络也就越接近DTFT的结果，这样就可以利用DFT来近似计算DTFT。

2.考察序列

（1），用DFT估计的频谱；将补零加长到长度为100点序列用DFT估计的频谱。要求画出相应波形。

（2）时，用DFT估计的频谱，并画出波形。

（3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。

（1）代码：

n=0:10

x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)

y=fft(x)

subplot(2,1,1)

stem(0:10,abs(y),'fill')

title('Magnitude')

subplot(2,1,2)

stem(0:10,angle(y)/pi,'fill')

xlabel('\\Omega/\\pi')

ylabel('/\\pi')

title('Phase')

补零代码：

n=0:10

x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)

x=[x,zeros(1,)]

y=fft(x)

subplot(2,1,1)

stem(0:99,abs(y),'fill')

title('Magnitude')

subplot(2,1,2)

stem(0:99,angle(y)/pi,'fill')

xlabel('\\Omega/\\pi')

ylabel('/\\pi')

title('Phase')

（2）代码：

n=0:100

x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n)

y=fft(x)

subplot(2,1,1)

stem(0:100,abs(y),'fill')

title('Magnitude')

subplot(2,1,2)

stem(0:100,angle(y)/pi,'fill')

xlabel('\\Omega/\\pi')

ylabel('/\\pi')

title('Phase')

（3）通过补零不能提高分辨力，但能提高分辨率。

从上述结果，我们可以发现使用DFT计算频谱，得到的结果只是N个频谱样本值，样本值之间的频谱是未知的，像通过一个栅栏观察频谱，称为“栅栏效应”。由知，频谱分辨率与纪录长度成反比，所以要提高频谱分辨率，就要增加记录时间。故可以通过补零提高频谱分辨率。对于分辨力，可以通过增加取样密度（减小取样间隔）提高频谱分辨力。

3.已知信号其中=1Hz，=2Hz，=3Hz。从的表达式可以看出，它包含三个频率的正弦波，但是，从其时域波形来看，似乎是一个正弦信号，利用DFT做频谱分析，确定适合的参数，使得到的频谱的频率分辨率符合需要。

（1）N=50,tp=0.1s时

t=0:0.01:1

x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)

X=fft(x,100)        

n=0:99

stem(n,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

不符合要求

（2）N=50,tp=0.5s时：

t=0:0.5:1

x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)

X=fft(x,50)     

n=0:49

stem(n,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

不符合要求

（3）N=50,tp=0.01s时

t=0:0.01:1

x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)

X=fft(x,50)     

n=0:49

stem(n,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

tp符合要求，但是只有4个冲击点，应该有6个，故应增大N。

（4）N=100,tp=0.01s

t=0:0.01:1

x=0.15*sin(2*pi*1*t)+sin(2*pi*2*t)-0.1*sin(2*pi*3*t)

X=fft(x,100)        

n=0:99

stem(n,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

此时DFT的包络形状已经很接近DTFT了。故取N=100,tp=0.01s

4. 利用DFT近似分析连续时间信号的频谱。分析采用不同的采样间隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定适合的参数。

（1）tp=1s,N=10

t=0:10

x=exp(-0.1*t)

X=fft(x,11)

stem(t,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

（2）tp=1s,N=100

t=0:0.1:10

x=exp(-0.1*t)

X=fft(x,101)

stem(t,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

（3）tp=0.1s,N=100

t=0:0.1:10

x=exp(-0.1*t)

X=fft(x,101)

stem(t,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

（4）tp=0.1s,N=1000

t=0:0.1:100

x=exp(-0.1*t)

X=fft(x,1001)

stem(t,abs(X),'filled')

xlabel('\\Omega/Hz')

title('Magnitude')

axis tight

可以看出tp=0.1s,N=1000时，DFT包络已经很接近DTFT结果了。

分析：从上面几个图我们可以看出，取样间隔越小，即采样点数越多，得到信号的频谱分辨力就越强；增加数据的长度N，得到的DFT谱线就越精细，其包络就越接近DTFT的结果。因此，应该缩小取样间隔T，增加数据的长度N。

五．心得与体会

通过本次实验，加深了我对于利用DFT分析信号频谱的原理的理解，通过分析实

现过程中出现的现象及解决方法，加深了对DFT原理的理解。我学会了应用DFT分析信号的频谱。

从实验中我得到的结论有：（1）由DFT可以计算出DTFT。DFT可以看作是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为，增加数据的长度N得到的DFT谱线就更加精细，其包络也就越接近DTFT的结果；（2）通过补零不能提高分辨力，但能提高分辨率。对于分辨力，可以通过增加取样密度（减小取样间隔）来提高。

我们还应该注意的问题有：（1）频谱混叠问题。如果不满足采样定理的条件，频谱会出现混叠误差。对于频谱无限宽的信号，应考虑覆盖大部分主要频率分量的范围；（2）频谱泄露问题。对信号截断会把窗函数的频谱引入信号频谱，照成品频谱泄露。解决这个问题的主要办法是采用旁瓣小的窗函数，频谱泄露和窗函数均会引起误差。