南京信息工程大学概率论与数理统计试卷及答案

2007 － 2008 学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( 卷) 本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 统计系 ；出卷时间 07 年 12月 系 专业 年级 班 学号 姓名 得分 一、选择题 (每小题 4 分，共 20 分)

1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ ）

A ）甲种产品帮销，乙种产品畅销；

B ）甲乙产品均畅销；

C ）甲种产品滞销；

D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.

2、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ ）

A ）

B A ,相互； B ）B A ,互不相容；

C ）A B ⊃；

D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

3、常数b ＝（ ）时，),2,1()

1( =+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。 A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3

4、设随机变量~(0,1),32X N Y X =-，则~Y （ ）

A) (0,1)N B) (2,9)N - C) (1,3)N - D) (2,1)N -

5、在假设检验中，原假设0H ,备择假设1H ，则称（ ）为犯第二类错误。

A) 0H 为真，接受 0H ； B) 0H 不真，接受0H ；

C) 0H 为真，拒绝0H ； D) 0H 不真，拒绝0H 二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分)

1、设事件B A ,,,4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P 则()P A B ⋃= 。

2、设离散型随机变量X 的分布律为X ～⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛5.03.02.0210

，则P (X ≤1.5)= 。

3、设随机变量X 的方差16)(=X D ，随机变量Y 的方差25)(=Y D ，又X 与Y 的相关

系数XY ρ=0.5，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D 。

4、设总体)(~λπX ，n X X X ，

， 21是X 的一个样本，2,S X 分别是样本均值及样本方差，则=)(X E ；=)(2S E 。

5、设由来自总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本的样本均值5X =，则未知参

数μ的置信度为0.95的置信区间是_ . （ 已知(1.96)0.975Φ=）

三、解答题 (每小题 10 分，共 60 分)

1、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率是90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它

,010,2)(x x x f ，求Y=3X+1的概率密度。 3、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

.0,10,0),2(),(其它x y x x ky y x f <<<<⎩⎨⎧-=

求：⑴常数k ; ⑵}5.0,5.0{<4、设),(Y X 的联合概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥+=其他,

002,02),(81),(y x y x y x f

求：（1）E(X)，E(Y) (2)).,cov(Y X （3）XY ρ.

5、设X 1， … ， X n 为取自总体X ~),(2σμN 的样本，求参数2

,σμ的最大似然估计量。

6、设某种橡胶的伸长率)015.0,53.0(~2N X ,现改进橡胶配方，对改进配方后的橡胶取样分析，测得其伸长率为0.56，0.53，0.55，0.55，0.58.0.56，0.57，0.57，0.54，已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有无显著变化？（05.0=α）

南京信息工程大学试卷答案

2007 － 2008 学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( 卷) 本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 统计系 ；出卷时间 07 年 12月 系 专业 年级 班 学号 姓名 得分 一、选择题 (每小题 4 分，共 20 分)

1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）

A ）甲种产品帮销，乙种产品畅销；

B ）甲乙产品均畅销；

C ）甲种产品滞销；

D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.

2、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）

A ）

B A ,相互； B ）B A ,互不相容；

C ）A B ⊃；

D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。

3、常数b ＝（ B ）时，),2,1()

1( =+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布。 A ）2 B ）1 C ）1/2 D ）3

4、设随机变量~(0,1),32X N Y X =-，则~Y （ B ）

A) (0,1)N B) (2,9)N - C) (1,3)N - D) (2,1)N -

5、在假设检验中，原假设0H ,备择假设1H ，则称（ B ）为犯第二类错误。

A) 0H 为真，接受 0H ； B) 0H 不真，接受0H ；

C) 0H 为真，拒绝0H ； D) 0H 不真，拒绝0H 二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分)

1、设事件B A ,,,4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P 则()P A B ⋃=0.72。

2、设离散型随机变量X 的分布律为X ～⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛5.03.02.0210

，则P (X ≤1.5)= 0.5 。

3、设随机变量X 的方差16)(=X D ，随机变量Y 的方差25)(=Y D ，又X 与Y 的相关

系数XY ρ=0.5，则=+)(Y X D 61 ，=-)(Y X D 21 。

4、设总体)(~λπX ，n X X X ，

， 21是X 的一个样本，2,S X 分别是样本均值及样本方差，则=)(X E λ ；=)(2S E λ 。

5、设由来自总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本的样本均值5X =，则未知参

数μ的置信度为0.95的置信区间是_（4.412，5.588） . （ 已知(1.96)0.975Φ=） 三、解答题 (每小题 10 分，共 60 分)

1、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率是90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

解：设A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”。 已知25.0)(,75.0)(,3.0)(,9.0)(====B P B P B A P B A P ，

9.025

.03.075.09.075.09.0)()()()()

()()(=⨯+⨯⨯=+=B P B A P B P B A P B P B A P A B P 。 2、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨

⎧<<=其它

,010,2)(x x x f ，求Y=3X+1的概率密度。 （两种方法求解）

解：方法一：定义法 )41()(}3

1{}13{}{)(31<<=-≤=≤+=≤=⎰-∞-y dx x f y X P y X P y Y P y F y Y )3

1(32)31(31)31)(31()()(''-=-=--==y y f y y f y F y f Y Y ，（41<041),31(32)(y y y f Y

方法二：公式法

函数13+=x y 在),(∞-∞内可导，且导数03'>=y ，其反函数31)(-=y y h ，3

1)('=y h ，4}4,1max{,1}4,1{====βαnin ，则Y=3X+1的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⋅-=其它,

041,9)1(231312)(y y y y f Y 3、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

.0,10,0),2(),(其它x y x x ky y x f <<<<⎩⎨⎧-=

求：⑴常数k ; ⑵}5.0,5.0{<245)2(010=-=⎰⎰，解得 5

24=k ⑵ }5.0,5.0{<13= ⑶ 103)2(524)2(524}1{1015.005.00=-+-=≤+⎰⎰⎰⎰-dy x y dx dy x y dx Y X P x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-=⎰其它

,010),2(512)2()(20524x x x dy x y x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=-=⎰其它

,010),21223(524)2()(21524y y y y dx x y y f y Y 显然，)()(),(y f x f y x f Y X ⋅≠，故X 与Y 不。

4、设),(Y X 的联合概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥+=其他,

002,02),(81),(y x y x y x f

求：（1）E(X)，E(Y) (2)).,cov(Y X （3）XY ρ. 解：11

1,3611,361),(,34)(,67-===-====XY DY DX Y X Cov XY E EY EX ρ 5、设X 1， … ， X n 为取自总体X ~),(2σμN 的样本，求参数2,σμ的最大似然估计量。

解：X 的概率密度为22

2)(221

),;(σμσπσμ--=x e x f

似然函数：∑===---=--∏n i i i x n n i x e e L 122222)(221

2)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ 对数似然函数：∑=----=n i i x n n L 1

22222)(ln 22ln 2),(ln σμσπσμ 对),(ln 2σμL 关于2

,σμ求偏导数并令偏导数为0，即 0)

(ln 21=-=∂∂∑=σμμn i i x L

0)(2ln 4122

2=-+-=∂∂∑=σμσσn

i i x n L 解得∑=-==n i i x x n x 1

2^2^)(1,σμ 故2,σμ的最大似然估计量为∑=-==n i i L L X X n X 12^

2^)(1,σμ 6、设某种橡胶的伸长率)015.0,53.0(~2N X ,现改进橡胶配方，对改进配方后的橡胶取

样分析，测得其伸长率为0.56，0.53，0.55，0.55，0.58.0.56，0.57，0.57，0.54，已知改进配方前后橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有无显著变化？（05.0=α）

解：检验假设0100:,

53.0:μμμμ≠==H H

当0H 成立时，统计量)1,0(~/0__N n X Z σμ-=，拒绝域为2/0__|/|||ασμz n X Z >-=

由样本观察值得557.0_=x ，且015.0,53.0,90===σμn ，从而得

4.5|9/01

5.053

.0557.0||/|||0__

=-=-=n X Z σμ

05.0=α，96.1025.02/==z z α

显然，2/||αz Z >，故拒绝原假设0H ，即可认为改进配方后橡胶的平均伸长率较以往有显著变化。