2020-2021学年山西省高考数学一模试卷(文)及答案解析

 山西省 高考数学一模试卷（文科）

　

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（　　）

A．    B．1    C．    D．

2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（　　）

A．100    B．110    C．115    D．120

3．“|m|＜2”是“m≤2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．实数x，y满足，则的最小值是（　　）

A．﹣5    B．﹣    C．    D．5

5．公差不为零的等差数列{an}中，a7=2a5，则数列{an}中与4a5的值相等的项是（　　）

A．a11    B．a12    C．a13    D．a14

6．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

7．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（　　）

A．48    B．24    C．12    D．6

8．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（　　）

A．    B．    C．    D．1

9．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB（O为坐标原点）的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（　　）

A．i＞6    B．i＞7    C．i＞8    D．i＞9

11．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）

A．    B．    C．    D．π

12．已知f（x）= 则方程f[f（x）]=3的根的个数是（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

　

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁UA，则集合B的个数是　　　　　　．

14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是　　　　　　．

15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是　　　　　　．

16．已知数列{an}的前n项和Sn=3（2n﹣1），数列{bn}的通项公式为bn=5n﹣2．数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}第kn项，则数列{kn}的前32项的和是　　　　　　．

　

三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．

19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤

（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．

项目/学号编号	①	②	③	④	⑤
（1）	T	T		T
（2）	T		T	T
（3）	T	T	T		T
（4）	T		T		T
（5）	T	T	T	T
（6）	T	T			T
（7）		T	T	T	T
（8）	T	T	T	T	T
（9）		T	T	T
（10）	T	T	T	T	T
注：“T”表示合格，空白表示不合格

（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．

20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；

（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．

21．已知直线y=x+1与函数f（x）=aex+b的图象相切，且f′（1）=e．

（I）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．

22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．

（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；

（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．

　

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E

（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC

（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．

　

[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程

（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．

　

[选修4-5：不等式选讲]

25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|

（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0

（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．

　

 参与试题解析

　

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（　　）

A．    B．1    C．    D．

【考点】复数求模．

【分析】根据复数模的计算方法计算即可．

【解答】解：复数z满足1+z=i，

∴z=﹣1+i，

∴|z|==，

故选：A．

　

2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（　　）

A．100    B．110    C．115    D．120

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】根据频率分布折线图中折线的最高点对应的数值，估计此次考试成绩的众数是什么．

【解答】解：根据频率分布折线图，得；

折线的最高点对应的值是115，

据此估计此次考试成绩的众数是115．

故选：C．

　

3．“|m|＜2”是“m≤2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】“|m|＜2”⇔﹣2＜m＜2，即可判断出结论．

【解答】解：“|m|＜2”⇔﹣2＜m＜2，

因此“|m|＜2”是“m≤2”的充分不必要条件．

故选：A．

　

4．实数x，y满足，则的最小值是（　　）

A．﹣5    B．﹣    C．    D．5

【考点】简单线性规划．

【分析】作出平面区域，则表示过点（1，1）的直线的斜率，根据平面区域观察最优解．

【解答】解：作出平面区域如图所示：

由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，

解方程组得x=，y=．

∴的最小值为=﹣．

故选：B．

　

5．公差不为零的等差数列{an}中，a7=2a5，则数列{an}中与4a5的值相等的项是（　　）

A．a11    B．a12    C．a13    D．a14

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】根据等差数列和等差数列的通项公式即可求出．

【解答】解：∵公差不为零的等差数列{an}中，设公差为d，a7=2a5，

∴a1+6d=2（a1+4d），

∴a1=﹣2d，

∴an=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，

∴4a5=4（a1+4d）=8d=（n﹣3）d，

∴n=11，

故选：A．

　

6．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的定义求得|PF1|，作PF1边上的高AF2，由A为中点，可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，运用基本不等式可得△PF1F2的面积的最大值．

【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2，

由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，

即为|PF1|=2+2a，

过F2作AF2⊥PF1，垂足为A，

由等腰三角形的性质可得A为中点，

由勾股定理可得|AF2|=，

即有△PF1F2面积为|AF2|•|PF1|=（2+2a）•

=•≤=2，

当且仅当（1+a）2=4﹣（1+a）2，即a=﹣1时，取得等号．

则△PF1F2面积的最大值是2．

故选：C．

　

7．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（　　）

A．48    B．24    C．12    D．6

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由平面向量的线性运算化简可得•=•（+）=•+•，从而求得．

【解答】解：∵2=，∴=，

∴•=•（+）

=•（+）

=•（+（﹣））

=•+•，

又∵∠ABC=90°，AB=6，

∴•=36， •=0，

故•=×36=24．

故选B．

　

8．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（　　）

A．    B．    C．    D．1

【考点】正弦函数的图象．

【分析】根据对称轴列出方程解出φ得到f（x）的解析式，根据对称性可知x1+x2=．

【解答】解：令2x+φ=+kπ，解得x=﹣+．

∴f（x）的对称轴为x=﹣+．

令=﹣+．解得φ=+kπ．

∵|φ|＜，∴φ=．

∴f（x）=sin（2x+）．

∵f（x）关于x=对称，当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），

∴x1+x2=．

∴f（x1+x2）=f（）=sin=．

故选：C．

　

9．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB（O为坐标原点）的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），并将直线设为x=my+1，代入抛物线y2=4x，运用抛物线定义和韦达定理计算x1+x2和y1﹣y2的值，再由△OAB（O为坐标原点）的面积S=|OF||y1﹣y2|得到答案．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

抛物线y2=4x焦点F坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1

依据抛物线定义，|AB|=x1+x2+2=6，

∴x1+x2=4，

设直线方程为x=my+1代入y2=4x，

得y2﹣4my﹣4=0

∴y1y2=﹣4

∵y12+y22=（y1﹣y2）2+2y1y2=（y1﹣y2）2﹣8=4（x1+x2）=16，

∴y1﹣y2=±2，

△OAB（O为坐标原点）的面积S=|OF||y1﹣y2|=，

故选：B．

　

10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（　　）

A．i＞6    B．i＞7    C．i＞8    D．i＞9

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填．

【解答】解：模拟执行程序，可得

i=1，y=0

x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，

不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）

不满足条件，x=﹣1，y=0，i=4，输出点（﹣1，0）

不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上

不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上

不满足条件，x=0，y=1，i=7，输出点（0，1）

不满足条件，x=﹣1，y=0，i=8，输出点（﹣1，0）

不满足条件，x=0，y=0，i=9，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上

不满足条件，x=1，y=1，i=10，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上

由题意，此时，应该满足条件，退出循环，

故判断框中可填写的条件是i＞9？．

故选：D．

　

11．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）

A．    B．    C．    D．π

【考点】球的体积和表面积．

【分析】设四棱锥P﹣ABCD底面棱长为x，则BE=DE=x，根据相似三角形的性质，求出x值，进而求出棱锥的底面的外接圆半径和高，进而求出棱锥的外接球半径，可得答案．

【解答】解：设四棱锥P﹣ABCD底面棱长为x，

∵E为PC的中点，且∠BED=90°，

则BE=DE=x，

则，解得：x=，

则正方形ABCD的外接圆半径r=1，

棱锥的高h=，

设棱锥外接球的半径为R，

则，

解得：R=，

故棱锥的外接球的表面积S=4πR2=，

故选：A

　

12．已知f（x）= 则方程f[f（x）]=3的根的个数是（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．

【分析】由题意得2f（x）+1=3或|lnf（x）|=3，从而解得f（x）=e3或f（x）=e﹣3；从而再讨论即可．

【解答】解：由题意得，

2f（x）+1=3或|lnf（x）|=3，

即f（x）=1（舍去）或f（x）=e3或f（x）=e﹣3；

若f（x）=e3，

则2x+1=e3或|lnx|=e3，

故x=（舍去）或x=或x=；

若f（x）=e﹣3，

则2x+1=e﹣3或|lnx|=e﹣3，

故x=或x=或x=；

故方程f[f（x）]=3共有5个解，

故选：B．

　

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁UA，则集合B的个数是　4　．

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}，∁UA={﹣2，4}，Ly B⊆∁UA，即可得出满足条件的集合B的个数．

【解答】解：全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}，

∁UA={﹣2，4}，

∵B⊆∁UA，则集合B=∅，{﹣2}，{4}，{﹣2，4}，

因此满足条件的集合B的个数是4．

故答案为：4．

　

14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是　②④　．

【考点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性．

【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数及绝对值函数的性质对①②③④逐个判断即可．

【解答】解：①y=x在（0，1）单调递增函数，

②y=21﹣x=2×（）x，单调递减函数，

③y=ln（x+1）单调递增函数，

④y=|1﹣x|=，故在（0，1）上单调递减函数，

故综上所述，②④为（0，1）上的减函数．

故答案为：②④

　

15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是　　．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个放倒的四棱锥，如图，当xy取得最大值时，

由x2+y2=25≥2xy，

当且仅当x=y时xy最大，此时x=y=，

所以棱锥的体积V==；

故答案为：．

　

16．已知数列{an}的前n项和Sn=3（2n﹣1），数列{bn}的通项公式为bn=5n﹣2．数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的第n项恰为数列{an}第kn项，则数列{kn}的前32项的和是　2016　．

【考点】数列的求和．

【分析】数列{an}的前n项和Sn=3（2n﹣1），当n=1时，a1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得：an=3×2n﹣1．数列{bn}的通项公式为bn=5n﹣2．数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}：3，48，768，…，分别为数列{an}第1，5，9，…，kn项．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【解答】解：数列{an}的前n项和Sn=3（2n﹣1），

∴当n=1时，a1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）=3×2n﹣1，

当n=1时上式也成立，∴an=3×2n﹣1．

数列{bn}的通项公式为bn=5n﹣2．

数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}：3，48，768，…，

分别为数列{an}第1，5，9，…，kn项．

可得kn=1+4（n﹣1）=4n﹣3．

∴则数列{kn}的前32项的和是=2016．

故答案为：2016．

　

三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（I）由acosB﹣bcosA=c，根据正弦定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B），化简整理可得：sinBcosA=0，利用A，B∈（0，π），即可得出．

（II）由（I）可得：S△ABC=bc=4，bc=8．b2+c2=a2，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（I）在△ABC中，∵acosB﹣bcosA=c，

根据正弦定理可得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，

∴sinBcosA=0，∵A，B∈（0，π），∴cosA=0，解得A=．

（II）由（I）可得：S△ABC=bc=4，∴bc=8．

b2+c2=a2，

∴a2≥2bc=16，

解得a≥4，当且仅当b=c=2时取等号．

因此a的最小值为4．

　

19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤

（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．

项目/学号编号	①	②	③	④	⑤
（1）	T	T		T
（2）	T		T	T
（3）	T	T	T		T
（4）	T		T		T
（5）	T	T	T	T
（6）	T	T			T
（7）		T	T	T	T
（8）	T	T	T	T	T
（9）		T	T	T
（10）	T	T	T	T	T
注：“T”表示合格，空白表示不合格

（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．

【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（I）使用列举法求出古典概型的概率；

（II）使用几何法求出几何概型的概率．

【解答】解：（I）由题意得共有5名学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有2两项成绩不合格，从中任意抽取2人进行补测，共有10种情况：

学员编号	补测项目	项数
（1）（2）	②③⑤	3
（1）（4）	②③④⑤	4
（1）（6）	③④⑤	3
（1）（9）	①③⑤	3
（2）（4）	②④⑤	3
（2）（6）	②③④⑤	4
（2）（9）	①②⑤	3
（4）（6）	②③④	3
（4）（9）	①②④⑤	4
（6）（9）	①③④⑤	4

由表格可知全部的10种情况中有6种情况补测项目不超过3，

∴补测项目不超过3项的概率为P=．

（II）在线段CD上取两点B′，D′，使得BB′=DD′=1.8m，

记汽车尾部左端点为M，则当M位于线段AB′上时，学员可按教练要求完成任务．

∴学员甲能按要求完成任务的概率P===．

　

20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；

（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．

【分析】（I）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定可得四边形MNQF是平行四边形，因此MN∥FQ，再利用线面平行的判定定理即可证明．

（II）由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，可得∠ACB=90°，AC=，AB=2．进而得到FC⊥BC，AC⊥BC，BC⊥平面ACFE．设点A到平面MCB的距离为h，则VA﹣MCB=•h．四边形ACFE为矩形，又VA﹣MCB=VB﹣ACM=，即可得出．

【解答】（I）证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQ∥AC，

又MF=AC，MF∥AC，

∴MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF是平行四边形，

∴MN∥FQ，FQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，

∴MN∥平面FCB．

（II）解：∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，可得∠ACB=90°，AC=，AB=2．

又FC=1，FB=，BC=1，∴FC⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．∴BC⊥平面ACFE．

设点A到平面MCB的距离为h，则VA﹣MCB=•h．

四边形ACFE为矩形，又VA﹣MCB=VB﹣ACM===，

S△MCB==，

∴h==，则点A到平面MCB的距离为．

　

21．已知直线y=x+1与函数f（x）=aex+b的图象相切，且f′（1）=e．

（I）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（I）求出函数f（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，由条件可得b=1，解方程可得a=1；

（Ⅱ）由于f（x）=ex，由题意可得+=在x∈（0，）有解，构造g（x）=，求得导数，求出单调区间和极值、最值，可得g（x）的范围，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（I）函数f（x）=aex+b的导数为f′（x）=aex，

由且f′（1）=e，可得ae=e，即a=1；

设切点为（m，m+1），可得切线的斜率为aem=1，

又m+1=aem+b，解得b=1，

综上可得，a=b=1；

（Ⅱ）由于f（x）=ex，

存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，

即为+=在x∈（0，）有解，

由g（x）=的导数为，

可得0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；

1＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减．

即有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值，

由g（0）=0，g（）=，

即有g（x）的范围是（0，]，

则0＜+≤，解得﹣＜≤﹣．

故的取值范围为（﹣，﹣]．

　

22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．

（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；

（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，﹣b），由两点的距离公式及点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）设F（c，0），C（0，﹣b），A（a，0），B（0，b），求得直线CF，AB的方程，联立求得M的坐标，再联立椭圆方程，可得P的坐标，由=，化简整理，转化为e的式子，运用基本不等式可得最小值．

【解答】解：（I）由题意可得A（a，0），B（0，b），C（0，﹣b），

|AN|=|AC|=，

直线AC的方程为bx﹣ay﹣ab=0，可得B到AC的距离为

d=，

由△BAN的面积为，可得

••（）=，

即有ab=2，

又e==，a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=c=，

即有椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设F（c，0），C（0，﹣b），A（a，0），B（0，b），

可得直线CF：y=x﹣b，直线AB的方程为y=﹣x+b，

联立直线CF和AB的方程，可得M（，），

将直线CF的方程代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，

可得x=0或，

即有P（，），

由==，

由e=∈（0，1），可得

==（1+e）+﹣2≥2﹣2=2﹣2．

当且仅当1+e=，即e=﹣1，可得最小值2﹣2．

　

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E

（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC

（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．

【分析】（Ⅰ）利用：A，B，C，D四点共圆，可得∠FBA=∠FCD，结合公共角，即可证明△FAB∽△FDC；

（Ⅱ）证明：F，E，A，B四点共圆，利用割线定理证明MA•MB=ME•MF．

【解答】证明：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠FBA=∠FCD，

∵∠AFB=∠DFC，

∴△FAB∽△FDC

（Ⅱ）如图，在△FBE，△FMD中，∠FBE=∠FMD=90°，∠BFE=∠MFD，

由三角形内角和定理，可得∠BEF=∠MDF，

∵ABDC为圆的内接四边形，

∴∠MDF=∠BAF，

∴∠BEF=∠BAF，

∴F，E，A，B四点共圆，

∴MA•MB=ME•MF．

　

[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程

（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；

（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．

【解答】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，

所以C1：，即，所以；

C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．

（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，

把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；

把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），

所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．

　

[选修4-5：不等式选讲]

25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|

（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0

（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）将a=2代入，不等式两边平方，解出即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）a=2时，原不等式为：|x+1|﹣|2x﹣2|＜0，

即|x+1|＜|2x﹣2|，平方：（x+1）2＜（2x﹣2）2，

化简得：（3x﹣1）（x﹣3）＞0，解得：x＜或x＞3，

故解集为：{x|x＜或x＞3}；

（Ⅱ）∵a＞0，∴＞0，

∴原函数可化为：

f（x）=，

即f（x）=，

∴f（x）max=f（）=+1，

∴+1≤3，解得：a≤4，

综上，a的范围是（0，4]．