2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷_3

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．每小题有且只有一个正确选项）

1． 已知为三条不同的直线，且平面，平面，．

(1)　若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；

(2)　若不垂直于，则与一定不垂直；

(3)　若∥，则必有∥；

(4)　若，，则必有．

其中正确的命题的个数是

（A）     （B）         （C）       （D）　      ［答］ (  C  )

2． 已知两点的坐标满足，，记原点到直线AB的距离为d，则其的取值范围适合（    B）

(A)           (B)         (C)          (D)不能确定

3．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1=2，AD1=。则AC的取值范围是（  C）

(A)             (B)  

 (C)                    (D)  

4．过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点。那么，线段PQ中点的轨迹方程是                                        (     B)．

(A)   (B)     (C)     (D) 

5． 四面体S-ABC中，三组对棱的长分别相等，且分别为、、5，则此四面体的体积为                       （  A    ）

(A)  20    (B)      (C)      (D)  30

6． 一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为，现有一蚂蚁从下底面圆周的点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的点爬行的最短路线是                (A)．

(A)    (B)       (C)       (D)

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．过点的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3，这样的直线有  4  条.

8．已知点P为椭圆在第一象限部分上的点，则的最大值等于 2       

9．设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=

10． 如图，正四面体的棱长为8，在棱、上各有一点、，若，则线段的长为        ．

11．如图，已知椭圆且，动点在上移动，则的面积的最小值是             ．

12已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____      ______.  

三、解答题（共4小题，满分48分）

14.（本题满分15分）如图，已知三棱锥P—ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．

（I）求证：平面；

（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（Ⅲ）若M为PB的中点，求三棱锥M—BCD的体积．

（1）【证明】∵△PAB中， D为AB中点，M为PB中点，∴ 

∵DM平面，PA平面，∴平面            

（2）【证明】∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，

∴                

∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，

又∵AP⊥PC， 

∴AP⊥平面PBC．            

∴AP⊥BC．                

又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC． 

∵

∴平面PAC⊥平面ABC． 

（3）【解】由（1）知，由（2）知

PA⊥平面PBC，  

∴DM⊥平面PBC．

∵正三角形PDB中易求得，  

∴ 

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，垂足为．

（1）设点的坐标为，求的最值；

（2）求四边形的面积的最小值．

解：（１）由已知得（－２，０），（２，０），Ｐ⊥Ｐ，

∴Ｐ满足，　　　　　　　　　　　　

∴，∴＝，       

∴它的最小值为，最大值为．                    

  （２）若直线的斜率存在且不为０，因，∴直线的方程为，直线的方程为．       

联立和，消去得：，，

设，，则，，

=；                            

联立和，消去得：，，

设，，则，， 

=；                             

=，

当时等号成立．                            

当为0或不存在时， ；         

综上，四边形的面积的最小值为．                 

15． （本题满分12分）椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为．

(１) 求椭圆的方程；

(２) 若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

解：(1)是椭圆上任一点,且，

．    

当时，有最小值；当或时,有最大值．

，   ，   ．

椭圆方程为．         

(2)　设，，将代入椭圆方程得

．

．  

，，，

为直径的圆过点，，

或都满足，

若直线恒过定点不合题意舍去，

若直线：恒过定点．

17． （本题满分13分）

设，，且中元素满足：对任何，恒有．

（1）试说明：集合的所有元素之和必为偶数；

（2）如果，试求的值．

解：（1）将集合的所有元素分组为、、……、、，共100组；由已知得，集合的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．                                                     

∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，

∴集合的所有元素之和必为偶数．                           

  （2）不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素，，

且记各集合的落选元素分别为，则，，

由于=

∴  +

===26700，……①  

而+=，

=10002-100=9902，

∴  =19800-9902=98                     

∴  -

=++…++

=++…++

=200-）+10000

=      ……②         

由①②得： =1328750 ．