二次函数(压轴题)详解

（动点问题）

【第一类】和最小，差最大

已知二次函数解析式为y=，（1）在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标；（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

※习题训练：

1.已知抛物线y=与x轴交于A、B两点（A在B左侧），C（2，-2）是抛物线外一点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得 |PB-PC|值最大，则点P坐标是_____。

2. 如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ACO与sin∠BCO的乘积；

（3）在线段BC边是否存点P，使得以B、O、P为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在对称轴上是否存一点P，使|PC-PB|的值最大，请求出点P的坐标．

【第二类】求面积最大，最小，相等

 ※面积最大：

（1）已知二次函数解析式为y=，连接AC,在第四象限的抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标.

解题方法：这类求图形面积最大的题目，先将该图形分成几个规则的可求出面的图形，然后设点的坐标，用含未知数的代数表示出面积，最终化成一个二次函数，利用自变量的取值范围及二次函数的性质求出最大值,然后求出点的坐标.【或利用“三角形面积=水平宽×铅垂高】注：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 

（2）已知：如图，抛物线y=ax²+3ax+c(a＞0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为(1，0)，OC=3·BO.

 （1）求抛物线的解析式； 

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

※面积最小：

抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，直线与x轴交于点A(-5,0)，与y轴交于点B.在抛物线上是否存在一点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.

※面积相等：一般是利用同底等高或等底同高（或等地等高）求解，做某一条线段的平行线也会经常用到.

（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．

（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；

（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【第三类】讨论直角三角 

已知二次函数解析式为y=，连接AC,（1）在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标；（2）在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形）．

解题方法：这类题目分直角顶点先在图中大致画出图，再进行分类求解，在解答时一般会用到两点间的距离公式.

两点间的距离公式

【若在平面直角坐标系中有两点A（，），B（，），则

】

【第四类】讨论等腰三角 

已知二次函数解析式为y=，连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标.

解题方法：从已知边（如本题AC）入手，分类讨论.【即：两个圆，一条垂直平分线】

①作已知边（AC）的垂直平分线，与对称轴x=1相交的点即所求点（P）.

②以一个定点（A）为圆心，以已知边（AC）为半径作圆，该圆与对称轴x=1相交的点即所求点（P）.

③以另一个定点（C）为圆心，以已知边（AC）为半径作圆，该圆与对称轴x=1相交的点即所求点（P）.

【第五类】讨论平行四边形  

1．已知二次函数解析式为y=，点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

动点中求平行四边形问题：从已知点连成的线段（如本题中的AB）入手，以已知线段（AB）为边有两种情况，以已知线段（AB）为对角线还有一种情况，不管是哪种情况，先在图中把平行四边形大致画出来，然后再作辅助线（“垂直或平行），利用平行四边形的性质、三角形的全等进行求解.

2．已知二次函数解析式为y=，点C的坐标为（2，-3），连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、P为顶点的四边形构成平行四边形.

三角形相似

（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

解题方法：三角形的相似有两种形式，一种是用“∽”写出来的，情况唯一，不需分类讨论；另一种是用“相似”写出来的，情况不唯一，需分类讨论.这种情况一般已知（或能确定）一个角是对应相等的，将其它两个不确定的角分类讨论即可，一般有两种情况。

抛物线与圆

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转）

2.二次函数抛物线简单的图形变换

（1）顶点式【（a≠0）】

①平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到

②对称

例1.将二次函数的图象作下列图形变换

(1)上移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新图象的解析式是________； 

(2)分别沿x轴、y轴对折，得到的新图象的解析式是：沿x轴：________；沿y轴：_______

(3)绕其顶点旋转180°，得到的新图象的解析式是：_______.

例2．如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

1.在平面直角坐标系中，将抛物线y1=x2-4x+1向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y2，然后将抛物线y2绕其顶点顺时针旋转180°，得到抛物线y3．

（1）求抛物线y2、y3的解析式．

（2）求y3＜0时，x的取值范围．

（3）判断以抛物线y3的顶点以及其与x轴的交点为顶点的三角形的形状，并求它的面积．

练习

1.在坐标平面内，已知点A(a，b),那么点A关于x轴的对称点坐标为_______；

                                   点A关于y轴的对称点坐标为_______；

                            点A关于原点中心对称的对称点坐标为_______；

2.已知点A（-4,-6）,将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度,得到

A′,则A′的坐标为________. 

4.抛物线的图像向右平移4个单位，再向下平移2个单位，可以得到抛物线______的图像.

5.把抛物线先向____平移____个单位，再向_____平移_____单位得到抛物线______.

选择题：

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b，则（ ）

A .M＞0，N＞0，P＞0        B .M＞0，N＜0，P＞0  

C .M＜0，N＞0，P＞0        D .M＜0，N＞0，P＜0

2.如图，已知抛物线y1=-x2+1，直线y2=-x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M1，若y1=y2，记M=y1=y2，例如：x=2时，y1=-3，y2=-1，y1＜y2，M=-3．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M=0的x值是1．

其中正确的是（　　）

A．①②   B．①③    C．②③    D．①④

3.已知：二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（　　）

A．-1           B．1            C．      D． 

4.若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是_____.

5.已知二次函数，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是____.

6.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是_____.

7.已知二次函数，当自变量x取m时对应的函数值大于0，设自变量x分别取m-3，m+3时对应的函数值为，，则（  ）

A.＞0，＞0    B.＞0，＜0    C.＜0，＞0    D.＜0，＜0 

8.如图，抛物线过点（1,0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P=a-b+c，则P的取值范围是（   ）

A.﹣4＜P＜0      B.﹣4＜P＜﹣2     C.﹣2＜P＜0    D.﹣1＜P＜0

8.已知二次函数的图像如图所示，对称轴为x=.下列结论中，正确的是（  ）A．abc＞0      B．a+b=0    C．2b+c＞0      D．4a+c＜2b

9.如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（　　）

10.一次函数（）、二次函数和反比例函数（）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（－2，0）。则下列结论中，正确的是（  ） A.b=2a+k   B.a=b+k   C.a＞b＞0   D.a＞k＞0

二次函数对应练习试题

一.选择题

1. 二次函数的顶点坐标是(  )  

A.(2,－11)          B.（－2，7）        C.（2，11）        D. （2，－3）

2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（   ）  

A.    B.   C.   D. 

3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的(   ) 

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是(    )   

A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）

Ａ．－１.３          B.-2.3         C.-0.3         D.-3.3　

6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）

A．第一象限　　　B．第二象限     C．第三象限　　  D．第四象限

7.方程的正根的个数为（   ） 

A.0个             B.1个            C.2个.          3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为(  )

A.                      B. 

C.或      D.或

二、填空题

9．二次函数的对称轴是，则____.

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是____.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是_____（只写一个即可）.

12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为______.

13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=____,c=______.

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　    (π取3.14).　　　　

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使： 5 ：4的点P的坐标。

（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．

17. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由

九年级数学第一学期期末测试题

（时间：120分钟；满分：120分）

一．选择题

1.在△ABC中，若∠C=90°，sinA=，则∠A等于（     ）. 

A. 90°         B. 60°       C. 45°        D. 30°

2.右面的三视图所对应的物体是（     ）.

3.如图，中，已知，BC=5 ,CA=6，EF是中位线，则EF=（     ）

A．4        B．3         C．2.5            D．2

4.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　 ）．

A．逐渐增大       B．不变        C．逐渐减小       D．先增大后减小

5.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=600，那么∠BDC=（　 　）　

A．80°    B．90°    C．110°    D．140°

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为（     ）

A．18cm        B．36cm        C．40cm        D．72cm

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）.已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）.若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为       .

8.图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠ABO的度数是（　　）。

A．25°     B．30°     C．40°    D．50°

9.一个口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100次 ，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（　　）．  

A．20个        B．25个      C．30个      D．35个

10.一元二次方程x2－6x＋4＝1的根可看作（　　）．

A．二次函数y＝x2－6x＋4 与x轴的交点的横坐标；

B．二次函数y＝x2－6x＋4与直线x＝1的交点的横坐标；

C．二次函数y＝x2－6x＋4与y轴的交点的横坐标；

D．二次函数y＝x2－6x＋4与直线y＝1的交点的横坐标．

11.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．c＞﹣1    B．    b＞0    C．    2a+b≠0    D．    9a+c＞3b

12.下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是（    ）

A.没有交点                         B.只有一个交点，且它位于轴右侧         

C.有两个交点，且它们均位于轴左侧  D.有两个交点，且它们均位于轴右侧

13.二次函数y=的图象如图所示，则一次函数y=与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为(   )

二．填空题

14.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB=2，AC=5，则cosA=         ．

15.若k=，则y=kx+3一定经过的象限是第______象限.

16.如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是                  ．（只要填一个）

17.小亮和他的同学利用影长测量旗杆的高度，1m长的直立竹竿的影长为1.5m.测量旗杆落在地上的影子为21m，落在墙上的影长为2m.则旗杆的高度为____.

18.如图，A、B两点分别在反比例函数y=和y=的图像上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA,则k的值为_____

19.如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是_____.

三．作图题:用尺规作图，保留作图痕迹即可.

20.已知:△ABC是一块直角三角形余料，工人师傅要在三角形中加工出一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、AC、BC边上，用你学过的知识作出裁割线.

四．解答题

计算：sin²30°+（cos23°-π）-tan30°×tan60°+|sin45°-1|

22.在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．当电阻R＝7.5Ω时，电流I＝2A．（1）求I与R之间的函数关系式； （2）求当电阻R为多少时，电流I＝0.5A？

（3）若该电路中的用电器额定电流不能超过5A，则该电路中电阻的电阻值应满足什么条件？

23.小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A—中国馆、B—日本馆、C—美国馆中任意选择一处参观，下午从D—韩国馆、E—英国馆、F—德国馆中任意选择一处参观

（1）请用画树状图或列表的方法，写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；

（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．

24.如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．

25.如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向（北偏东45°）航行，在A处观测灯塔C在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔C恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？请你计算说明.（参考数据：，）

26.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．

（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；

（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，车与集装箱共高4m，宽2.4m．问此车能否安全通过此隧道？并说明理由．（参考数据：，）

27.已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．

①求的值；

②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；

（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

28.已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．

（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．

29.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．

（1）求证：AT是⊙O的切线；

（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

30.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，连接AC、DB.

（1）求证：△AEC≌△DEB

(2)如果P，Q，M，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形PQMN是什么四边形？并证明你的结论；

31.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱;价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）写出每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

（1）请你在图①中，过点A作一条直线，使它平分△ABC的面积；

（2）如图②，点D是△ABC边AC上的一定点，取BC的中点M，连接DM，过点A作AE//DM交BC于点E,作直线DE.求证：直线DE平分△ABC的面积.

问题解决

（3）如图③,四边形ABCD是某商业用地示意图,现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计）,使其平分四边形ABCD的面积.请你在图③中作出这条路所在的直线,并说明理由.