2021年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何

一、单选题

1. ( 2分 ) （2021·全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（   ） 

A.                   B.                   C.                   D. 

2. ( 2分 ) （2021·全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（   ）            

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

3. ( 2分 ) （2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）            

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

4. ( 2分 ) （2021·新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ）            

A. 2                                       B. 2                                        C. 4                                       D. 4 

5. ( 2分 ) （2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）            

A.                                 B.                                 C.                                 D. 

6. ( 2分 ) （2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（    ）            

A. 26%                                     B. 34%                                     C. 42%                                     D. 50%

7. ( 2分 ) （2021·北京）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）  

A. 小雨                                     B. 中雨                                     C. 大雨                                     D. 暴雨

8. ( 2分 ) （2021·北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）  

A.                                       B. 4                                      C.                                       D. 2

9. ( 2分 ) （2021·浙江）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）  

A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 

10. ( 2分 ) （2021·浙江）如图已知正方体 ，M  ， N分别是 ， 的中点，则（    ）  

A. 直线 与直线 垂直，直线 平面 

B. 直线 与直线 平行，直线 平面 

C. 直线 与直线 相交，直线 平面 

D. 直线 与直线 异面，直线 平面 

11. ( 2分 ) （2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（    ）            

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

二、多选题

12. ( 3分 ) （2021·新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC- 中，AB=AA1=1，点P满足 ，其中λ∈[0,1]， ∈[0,1]，则（   ）            

A. 当λ=1时，△ P的周长为定值

B. 当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值

C. 当λ= 时，有且仅有一个点P，使得 

D. 当 = 时，有且仅有一个点P，使得 B⊥平面A P

13. ( 3分 ) （2021·新高考Ⅱ卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（    ）            

A.                                        B. 

C.                                             D. 

三、填空题

14. ( 1分 ) （2021·全国甲卷）己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．    

15. ( 1分 ) （2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）. 

四、解答题

16. ( 10分 ) （2021·全国甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形． 分别为 和 的中点， ． 

（1）求三棱锥F－EBC的体积；    

（2）已知 为棱 上的点，证明： ．    

17. ( 10分 ) （2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1. 

​​

（1）   证明：BF⊥DE；    

（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 

18. ( 10分 ) （2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM， 

（1）求BC；    

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。    

19. ( 10分 ) （2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM. 

​​

（1）证明：平面PAM 平面PBD；    

（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.    

20. ( 10分 ) （2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.  

（1）证明：OA⊥CD：    

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在 棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.    

21. ( 10分 ) （2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．  

（1）证明：平面 平面 ；    

（2）求二面角 的平面角的余弦值．    

22. ( 10分 ) （2021·北京）已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．  

（1）证明：点 为 的中点；    

（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．    

23. ( 10分 ) （2021·浙江）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，M  ， N分别为 的中点， .  

（1）证明： ；    

（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.    

24. ( 15分 ) （2021·天津）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．  

（1）求证： 平面 ；    

（2）求直线 与平面 所成角的正正弦值．    

（3）求二面角 的正弦值．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 D   

【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图    

【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

 则侧视图是

 故答案为：D

 【分析】根据三视图的画法求解即可.

2.【答案】 A   

【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积    

【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1  ， 由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且， 

 又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2  ， ， 

 则OO12+O1C2=OC2

 则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，

 所以OO1⊥平面ABC，

 所以

 故答案为：A

 【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即可.

3.【答案】 D   

【考点】直线与平面所成的角    

【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，

 因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以

 即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以＝.

 故答案为：D

 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

4.【答案】 B   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）    

【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有， 

 解得

 故答案为：B

 【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

5.【答案】 D   

【考点】棱台的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积    

【解析】【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

 所以该棱台的高，

 下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，

 所以棱台的体积为

 故答案为：D

 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

6.【答案】 C   

【考点】球的体积和表面积    

【解析】【解答】解：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：==≈0.42=42%

 故答案为：C

 【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

7.【答案】 B   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）    

【解析】【解答】解：如图所示，

 由题意得， 则r=50

 则雨水的体积为， 

 则降雨的厚度（高度）为

 故答案为：B

 【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.

8.【答案】 A   

【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积    

【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：

 该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，

 则SB=SC=BC=， 

 则所求表面积为

 故答案为：A

 【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.

9.【答案】 A   

【考点】由三视图求面积、体积    

【解析】【解答】由三色线法,画出几何体为如图所示的四棱柱 ，其高为1，底面为等腰梯形 ， 

该等腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为1，故梯形的高为 ，

故 ，

故答案为：A.

 【分析】先由三视图，用三色线法还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。

10.【答案】 A   

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定    

【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), A1(2,0,2), B(2,2,0), D1(0,0.2), M(1,0,1), N(1,1,1), B1(2,2,2),

 对于A: 因为因为所以,

 即  , 又因为则AB||MN,于是AB∥平面ABCD，A符合题意；

 对于B: 由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意；

 对于C: A1D与D1B是异面的, 不平行，故C不符合题意；

 对于D: A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；

 故答案为：A.

 【分析】对于A：由空间向量证明是正确的，

 对于B：若A知 这显然不平行，所以B不正确；

 对于C：显然， 直线 与直线 是异面直线，故C错误；

 对于Ｄ：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。

11.【答案】 B   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积    

【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，

 设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即AD=3BD，

设球的半径为R，则， 解得R=2，

 所以AB=AD+BD=4BD=4，

 所以BD=1,AD=3

 ∵CD⊥AB，

 ∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°

 ∴∠CAD=∠BCD

 又因为∠ADC=∠BDC

 所以△ACD∽△CBD

 所以

 ∴

 ∴这两个圆锥的体积之和为

 故答案为：B

 【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.

二、多选题

12.【答案】 B,D   

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定    

【解析】【解答】解：由 点P满足 可知点P在正方形BCC1B1内，

 对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中，， 

 因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.

 对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，

 易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，

 △A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；

 对于C，当时，分别取线段BB1  ， CC1的中点M,N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，

 很显然若点P与D,D1重合，均满足题意，故C错误；

 对于D，当时，分别取线段BB1  ， CC1的中点D,D1  ， 可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，

 此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

 故答案为：BD

 【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可,根据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

13.【答案】 B,C   

【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定    

【解析】【解答】解：对于A，如图（1）所示，

 连接AC，则MN//AC，

 故∠POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角.

 在直角三角形OPC中，， CP=1，故

 故MN⊥OP不成立，故A错误；

 对于B，如图（2）所示，

 取NT的中点Q，连接PQ,OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，

 由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而平面ANDT，

 故SN⊥OQ，而SN∩MN=N，故OQ⊥平面SNTM，

 又平面SNTM，则OQ⊥MN，而OQ∩PQ=O，

 所以MN⊥平面OPQ，而平面OPQ，故MN⊥OP.

 故B正确；

 对于C，如图（3）所示，

 连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；

 对于D，如图（4）所示，

 取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC//MN，

 因为DP=PC，故PQ//AC，则PQ//MN，

 所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

 因为正方体的棱长为2，故， 

 则有QO2 故∠QPO不可能是直角，

 故MN，OP不可能垂直

 故D错误.

 故答案为：BC

 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

三、填空题

14.【答案】 39π   

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）    

【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，

 则底面面积S=πr2=36π，

 则由得,

 则

 故圆锥的侧面积为

【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.

15.【答案】 ②⑤或③④   

【考点】由三视图还原实物图    

【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

 当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

 故答案为： ②⑤或③④

 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

四、解答题

16.【答案】 （1）如图所示，连结AF， 

由题意可得： ，

由于AB⊥BB1  ， BC⊥AB， ，故 平面 ，

而 平面 ，故 ，

从而有 ，

从而 ，

则 ， 为等腰直角三角形，

， .

（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱 的中点 ，连结 ， 

正方形 中， 为中点，则 ，

又 ，

故 平面 ，而 平面 ，

从而 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定    

【解析】【分析】（１） 连结AF ，通过计算得出AC线段的长度， 得到 ，

 进一步可以计算出 F－EBC的体积；

 （２） 由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ， 取棱 的中点 ，连结 ， 通过证明  平面 ， 而得到 DE.

17.【答案】 （1）因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以 

因为 ， ，所以 ，

又 ，所以 平面 ．

所以 两两垂直．

以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．

所以 ，

．

由题设 （ ）．

因为 ，

所以 ，所以 ．

（2）设平面 的法向量为 ， 

因为 ，

所以 ，即 ．

令 ，则 

因为平面 的法向量为 ，

设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，

则 ．

当 时， 取最小值为 ，

此时 取最大值为 ．

所以 ，

此时 ．

【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法    

【解析】【分析】（１）根据条件，先证明 两两垂直 ，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明 ．

 （２）先设 设出平面 平面 的法向量及 平面 的法向量 ，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。

18.【答案】 （1）解：因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以 ， ， 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。 

设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ ，1，0），P(0，0，1)，所以 =（t，1，-1）， =（ ，1，0），

因为PB⊥AM，所以 • =- +1=0，所以t= ，所以BC= 。

（2）设平面APM的一个法向量为 =（x，y，z），由于 =（- ，0，1），则 

令x= ，得 =（ ，1，2）。

设平面PMB的一个法向量为 =（xt  ， yt  ， zt），则

令 =1，得 =(0，1，1).

所以cos（ ， ）= = = ，所以二面角A-PM-B的正弦值为 .

【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角    

【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解； 

（2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

19.【答案】 （1）因为 底面 ， 平面 ，

 所以 ，

 又 ， ，

 所以 平面 ，

 而 平面 ，

 所以平面 平面 ．

（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，

 从而 ，

 设 ， ，则 ，

 即 ，

 解得 ，所以 ．

 因为 底面 ，

 故四棱锥 的体积为 ．   

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定    

【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 平面 ， 从而可能证明 

平面 平面 ；

（2）由连接BD（1）可得 ， 证明  通过计算，求出高 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。

20.【答案】 （1）， 为 中点，  

，

面 ，

面 面 且面 面 ，

面 ，

．

（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，垂直 且过 的直线为 轴，  

设 ， ， ， ， ,

， ，

设 为面 法向量，

，

，

令 ， ， ，

，

面 法向量为 ，

，解得 ，

，

，

．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角    

【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可； 

（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=1，再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.【答案】 （1）取 的中点为 ，连接 .  

因为 ， ，则 ，

而 ，故 .

在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，

因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，

因为 ，故 平面 ，

因为 平面 ，故平面 平面 .

（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，  

结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.

则 ，故 .

设平面 的法向量 ，

则 即 ，取 ，则 ，

故 .

而平面 的法向量为 ，故 .

二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .

【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法    

【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可； 

（2）利用向量法直接求解即可.

22.【答案】 （1）如图所示，取 的中点 ，连结 ，  

由于 为正方体， 为中点，故 ，

从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，

据此可得：直线 交平面 于点 ，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，

即点 为 中点.

（2）以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方形，建立空间直角坐标系 ，  

不妨设正方体的棱长为2，设 ，

则： ，

从而： ，

设平面 的法向量为： ，则：

，

令 可得： ，

设平面 的法向量为： ，则：

，

令 可得： ，

从而： ，

则： ，

整理可得： ，故 （ 舍去）.

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角    

【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可； 

（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.

23.【答案】 （1）证明：在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，  

所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，而 平面 ，所以 ，又 ，所以 

（2）解：由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,   

则 , 

又 为 中点，所以 .

由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量 

从而直线 与平面 所成角的正弦值为 

【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角    

【解析】【分析】（1）通过已知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出 ， 由 ，  得DC⊥平面 ， 结合AB||DC，则有AB⊥PM ； 

（2）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。

24.【答案】 （1）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，  

则 , , , , , , ，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，

所以 , , ,

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，令 ，则 ，

因为 ，所以 ，

因为 平面 ，所以 平面 ；

（2）由（1）得， ，  

设直线 与平面 所成角为 ，

则 ；

（3）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，  

则 ，

所以二面角 的正弦值为 .

【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法    

【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面  的一个法向量， 再利用向量法直接求证即可；

 （2）先求出， 再由求解即可；

 （3）先求出平面  的一个法向量 ， 再由结合同角三角函数的平方关系求解即可.

试卷分析部分

1. 试卷总体分布分析