基于相位差法的快速工频频率校正的研究

作者简介:朱宁(19612　

),男,江苏泰兴人,嘉兴学院机电学院副教授,研究方向为电气自动化和智能控制.基于相位差法的快速工频

频率校正的研究

朱　宁

(嘉兴学院机电工程学院,浙江嘉兴314001)

摘　要:采用相位差法对工频频率测量进行了研究,推出了频率校正的计算公式;研究了窗函数和窗长度的选择对校正精度和响应时间的影响,在窗长度足够长的情况下,采用布莱克曼窗、凯泽窗有很高的校正精度;为提高响应速度,推导出了窗长为一个工频周期的傅立叶系数的计算公式,得出只含单频成分时,仍能够采用相位差法对频率进行校正,而当含有高次谐波时不宜直接采用相位差法的结论;还得到一种新的频率校正方法,该方法适合含有高次谐波的情况;通过给出的两种模型进行仿真实验,验证了理论结果的正确性.

关键词:电力系统;离散频谱;相位差法;频率校正　中图分类号:TM71

Study on F ast Main Frequency -Correction P arameters B ased on Phase Difference Method

ZHU Ning

(School of Mechanical &Electrical Engineering ,Jiaxing University ,Jiaxing Zhejiang 314001)Abstract :A calculating formula for correcting frequency was derived through studying the main f requency parameters of power system with the method of Phase Difference Correcting.And the effect on correcting accu 2racy and responding time through choosing both the window functions and window sizes were studied.The Blackman Window and Kaiser Window can provide a high correcting accuracy when the window length is e 2nough.In order to enhance the response speed ,a calculating formula for Fourier coefficient was deduced at the window size being one main cycle.For a signal with single f requency ,the method of Phase Difference Correcting would be used efficiently ,and for a signal with harmonics ,this method would not be used.A new f requency correction method was obtained ,suitable for the situation of high -order harmonic generation ,and this method was proved by two simulation experiments.

K ey w ords :power system ;discrete spectrum ;phase difference correction method ;f requency correction

文献标识码:A.　文章编号:100826781(2009)0320037205

对于主要含有50HZ 的交流供电系统,由于用电负荷的非线性,使供电系统中含有一定的谐波,

在对称三相供电系统中主要含有3、5、7……等奇次谐波.改善供电质量的主要技术是供电系统的谐波测量和谐波的抑制,其中工频频率的测量非常关键,目前广泛采用各种频率估计算法和频率校正方法[124],能够同时进行实时频率估计和跟踪,而初相位校正的方法大致有能量重心法、比值校正法、FF T +DF T 谱连续细化法、相位校正法.就其中综合响应速度和算法的复杂性来说,相位差法比较好,因其计算简单只需两次FF T 或DF T ,文献[1]和[2]用此法对周期信号的频率校正进行了一定的研究.

・

73・第21卷第3期2009年5月Vol.21No.32009.5

　　　嘉兴学院学报

J ournal of J i a x i n g U ni versit y

基于相位差法的频率校正方法中又分两种:1)对时域信号连续采样两个样本,然后对这两段样本做傅立叶变换,利用对应谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位;2)只采样一段时域信号,对这一段序列分别进行N 点和N/2点的傅立叶变换,利用对应谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位.其他相位差法都是这两种方法的拓延,如改变窗长法等.研究表明在频率成分间隔较近(大于4个频率分辨率)时,相位差法也有较好的精度.[1]本文拟对第一种相位差法在工频频率测量和校正的应用做一定的研究.1　相位差法的频率校正

对加长度为T 0的窗,窗函数为W T (t ),对信号f (t )进行傅立叶变换,有:

F[f (t )・W T (t )]=

∫

∞

-∞

f (t )・W T (t )・e

-j

ωt d t =

∫

T 0

f (t )・W T (t )・e

-j

ωt d t

其中W T (t )是单边窗函数,若W 0(t )是其对应的对称窗函数,且:F[W 0(t )]=W 0(ω

),则:F[W T (t )]=W 0(ω)e -j ωT 0/2.

设有一工频信号

f (t )=A 0+

∑∞

n =1

A

n

sin (n

ω1t +Ψn )按照连续时间傅立叶变换的线性性质,叠加信号的傅立叶变换等于各个信号的傅立叶变换的叠加,

考虑到主要进行电力系统信号的基波频率分析,故先取其中基波:f 1(t )=A 1sin (ω1t +Ψ1)来研究其频率校正规律.

其傅立叶变换为:

F[A 1sin (ω1t +Ψ1)]=j πA 1[e j Ψ1δ(ω+ω1)-e j Ψ

1δ(ω-ω1)]

加窗长度为T 0后基波频率信号的傅立叶变换可根据卷积定理求出(“3”表示卷积):

F[f 1(t )・W T (t )]=1

2

π{F[f 1(t )]3F[W T (t )]}=12

πj πA 1[e j Ψ1δ(ω+ω1)-e -j Ψ1

δ(ω-ω1)]

3W 0(ω)e -j ωT 0/2=

A 1j

2

W 0(ω+ω1)e

-j[(ω+ω1)T 0/2-Ψ1]

2W 0(ω-ω1)e

-j[(ω-ω1)T 0/2+Ψ1](1)

(1)式中若取ω=K ω0时,接近ω1时,傅立叶变换后的谱线辐值为最大,K 为对应的谱线数.可根据

此时的傅立叶变换,换算成离散傅立叶系数即用DF T 计算此谱线的辐值和初相位.上式成为:

A 1j 2T 0

W 0(K ω0+ω1)e -j[(K ω0+ω1)T 0/2+Ψ1]-W 0(K ω0-ω1)e -j[(K ω0-ω1)T 0/2-Ψ1]

(2)

注意(2)式比(1)式多了T 0,根据窗函数的特征和傅立叶系数计算,略去所有可能来自的主副瓣干扰,其初相位为:

<1=(ω1-K ω0)T 0/2+Ψ1(3)　　时间延迟T 0后基波信号的实际初相位为:

Ψ1T =Ψ1+ω1T 0(4)

　　对下一段延迟T 0后连续信号时间加同样长度的窗后,同样取ω=K

ω0,根据傅立叶系数计算,其初相位为:

<1T =(ω1-K ω0)T 0/2+Ψ1+ω1T 0

(5)因此,实际频率和初相位校正公式是:ω1=(<1T -<1)/T 0

Ψ1=<1-(ω1-K ω0)T 0

/2(6)

需要注意的是(3)(4)(5)式中的相位应折算到[-π,+π]之中,否则会发生相位模糊,所以计算公

・83・　　　　　　　　　　嘉兴学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　第21卷第3期

式(6)式也需要修正.

2　窗函数和窗长度的选择对相位差法频率校正的影响

由于(2)式没有指定选择何种窗函数,所以校正公式(6)显然适合于各种窗.但窗函数和窗长度的选择对校正是有影响的,理论和实践表明,对于稳定信号,相位差法频率校正适合于频率分辨率为4个以上的频率校正,换算到电力系统信号分析,窗的长度最小应大于4T 1(T 1为工频周期),要求高时应大于5T 1,加旁瓣干涉较小的hanning 窗或hamming 窗能够达到一定的校正精度.若不考虑响应速度,能够增加窗的长度时,校正精度会进一步更高.若窗的长度足够长还可以选择旁瓣干涉更小的窗,如布莱克曼窗、凯泽窗等等,会有更理想的校正精度.

按照窗的长度最小应大于4T 1计算,检测的总响应速度应在011s 左右,能够同时校正频率和初相位甚至是幅值.按照相位差法频率校正原理,可以推出提高检测响应速度的解决方法有两个:一是寻找主瓣宽度很窄、副瓣辐值很低的窗函数,用来克服计算时的主、副瓣干涉,这样可以减少频率分辨率,即缩短窗长提高响应速度;二是先低通滤波后进行校正,由于会破坏相位关系,此法多数情况下只适合于频率测量和跟踪.根据电力系统信号的特点,电力系统信号在测量时要考虑两方面的因素:1)频率漂移,一般以一定时间形式在某中心频率来回缓慢变化;2)衰减震荡,一般以指数衰减或增加为系数,形成波形的衰减和增加.从这个意义上说,如果采用离散傅立叶频谱分析,其窗长越短精确度越高,此外电力系统对检测响应时间要求越来越短,如电力系统的谐波处理装置中,有源滤波器要求谐波测量与计算的时间在一个工频周期内完成,因此,电力系统信号对只加窗长为T 1(工频周期)或几倍于T 1的信号序列的谐波分析非常重要.

3　短时窗的傅立叶系数计算和相位差法的研究

如果窗长按一个工频周期来设计,当窗长与一个工频周期的绝对误差在一定的范围内时,即使选择矩形窗通过傅立叶变换计算各次谐波辐值和相位,也存在主瓣和副瓣干涉,为减少计算公式的复杂性,本文以矩形窗为例,研究在计算基波辐值和相位时的计算公式,为减少复杂性只进行连续时间信号及相应频域的分析.

电力系统样本信号为:

f (t )=A 0+

∑∞

N =1

A

N

sin (N ω1t +ΨN ),其中t =0～T 0(7)

　　对称矩形窗的连续时间域的傅立叶变换为:

F[W 0(ω

)]=T 0Sa (ωT 0

2

)(8)

　　将(8)式代入(2)式后,且令ω=ω0,得对应基波谱线的傅立叶系数为:

C 1=

A 1j

2

Sa (

(ω0+ω1)T 0

2

)e

-j[(ω0+ω1)T 0/2+Ψ1]

-Sa (

(ω0-ω1)

T 0

2

)e -

j[(ω0-ω1)T 0/2-Ψ1]

(9)

　　式(9)中已含基波谱线副频率的副瓣干涉数值.

311　电力系统信号f (t )中只含有基波(工频)信号时的相位差法校正公式

如果电力系统信号f (t )中只含有基波,(9)式进一步计算得初相角计算公式为:

<1=arctan [ω1ω0

tan ((ω0-ω1)T 0

2+Ψ1]

(10)

　　按相位差法频率校正,时间延迟后的初相位计算公式为:

<1T =arctan [ω1ω0

tan ((ω0-ω1)T 0

2+Ψ1+ω1T 0)]

(11)　　根据(10)和(11)式,具体的计算公式为:

・

93・朱宁:基于相位差法的快速工频频率校正的研究

ω1t g (ω1Τ0)=ω0[t g (<1T )-t g (<1)]Ψ1=arctg [ω0ω1

t g (<1)]-(ω02ω1)T 02(12)

　　根据(12)式进行基波的频率和初相位校正,已是变形的相位差法,由于存在基波副频率的副瓣干

涉,计算繁琐了许多,这就是短时窗的影响.312　含有高次谐波时傅立叶系数的计算公式

根据(9)式的计算原理,2次、3次、……、N 次的谐波对基波系数计算时的干涉值依次为:

A 2j

2

Sa ((ω0+2ω1)T 0

2

)e -j[(ω0+2ω1)T 0/2+Ψ2]

-Sa ((ω022ω1)T 0

2

)e -j[(ω0-2ω1)T 0/2-Ψ2]

A 2j

2

Sa (

(ω0+3ω1)T 0

2

)e -

j[(ω0+3ω1)T 0/2+Ψ2]

-Sa (

(ω023ω1)T 0

2

)e -

j[(ω0-3ω1)T 0/2-Ψ2]

　　　　　　　　　　　　……

A 2j

2

Sa (

(ω0+N

ω1)T 02

)e -

j[(ω0+N ω1)T 0/2+ΨN ]

-Sa (

(ω02N ω1)T 0

2

)e -

j[(ω0-N ω1)T 0/2-ΨN ]

　　进一步计算可得到如下相应数值:

C 1=2A 2sin (ω1T 0)(ω02-4ω12)T 0{-j ω0co s α2+2ω1sin α2}+2A 3sin

3ω1T 0

2(ω02-9ω02)T 0

{-j ω0cos α3+3ω1sin α3}+……+2A i sin i ω1T 0

2(ω02-i 2ω12

)T 0

{-j ω0co s αi +N ω1sin αi }+……+

2A N sin

N ω1T 0

2

(ω0

2

-N 2

ω12

)T 0

{-j ω0co s αN +N ω1sin αN }(13)

其中:

αi =(i ω1-ω0)T 0/2+Ψi 　

(i =2,3,……,N )可见,如果f (t )中含有高次谐波时,只检测一个周期的信号序列数据,在计算基波傅立叶系数时含有各种频率的副瓣干涉,直接使用相位差法的频率校正将有很大的困难,这时比较可行的分析方法之一是间接使用相位差频率校正,具体步骤如下:1)采用简单的方法先估计一个工频周期值,可以采用零交法及改进的水平交法等等;[7]2)起始点不变,终点以估计数值为中心,数值在一定的正负误差带内,形成一组样本序列,进行傅立叶系数计算,由此取得相应的基波相位,只要范围足够大,实际的工频周期序列将包含在选择的样本序列中(误差在一个采样周期);3)对下一个周期的同等长度序列,也组成一组样本序列,进行傅立叶系数计算,取得相应的基波相位,前后两组对应的基波相位进行比较;4)选择前后序列的基波相位绝对误差最小的序列为实际工频周期值;5)根据此序列的周期值得出频率值,取出相应的初相位.序列数值的选择应按一定的方法选择即按最优化原则选取,即有一个自适应过程,以减少计算量和响应时间.4　仿真

本文设计了两种仿真:

1)f (t )=215sin (2

πf 1+π8)2)f (t )=100sin (2πf 1+π8)+5sin (6πf 1+π20+5sin (10

πf 1+9π

10)第一种具体参数f 1=5015HZ ,设工频周期估计值为0102秒,对应采样点数为1024点,选择采用单频的相位差法,两次FF T 算法,MA TLAB 仿真,结果见表1.

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表1　第一种仿真信号的校正

实际频率5015Hz 水平法频率估计值5014Hz 校正频率5014931Hz 绝对误差010069Hz 实际辐值100水平法辐值计算值9916603

校正辐值

9919957绝对误差010043实际相位

225°

水平法相位计算值

2414959°校正相位

2215117°

绝对误差

010117°

　　第二种具体参数f 1=5015HZ ,水平法周期估计值为5014HZ ,采样频率不变,样本系列的采样点中间值为1024点,前后对应序列相位差比较,MA TL AB 仿真,结果见表2.

表2　第二种仿真信号的校正

实际频率5015Hz 未校正频率50Hz 校正频率50151Hz 绝对误差0101Hz 实际辐值215未校正辐值21412528校正辐值2151053绝对误差01053实际相位

2215°

未校正相位

2415114°

校正相位

221495°

绝对误差

01005°

5　结论

1)提高采样点数会减少计算误差,但会增加计算量.

2)可以采取频率校正-频率测量模式,即边检测边进行采样周期的修正,使预计频率和实际频

率误差控制在一个很小的范围内,可以提高校正精度.

3)实际应用中采用FF T +DD T 计算一定时间段的全景频谱,可以指导短时傅立叶变换时的检测参数.

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(责任编辑　米栗)

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