平面向量 高三 一轮复习(完整版)

一、平面向量的概念及其线性运算

【例1】判断下列命题的真假：

1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；

2、非零向量a与非零向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

3、向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；

4、若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

5、若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

6、对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

9、向量与的长度相等；

10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同；

11、只有零向量的模等于0；

12、共线的单位向量都相等；

13、向量与是两平行向量；

14、与任一向量都平行的向量为向量；

15、若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形；

16、设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍；

17、在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆；

18、凡模相等且平行的两向量均相等；

19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；

20、设是任意的非零平面向量且互不共线，则

21、下列命题中：其中正确的是_____________

①；                          ②；

③ ；               ④ 若，则或；

⑤若则                             ⑥；              

⑦；               ⑧；       ⑨

二、平面向量平行定理（共线定理）

（1）若                   （2）若

共线定理作用（1）                （2）

【例2】设两个非零向量与不共线,

（1）若求证：A..B.D三点共线;

（2）试确定实数k,使和共线。

【例3】已知向量=（，1）=（0，-1），=（k，）。若与共线，则k=__________。

三、直线的向量参数式方程

已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任意一点P,存在实数t,使关于基底{}的分解式为  

此向量等式叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足.

应用一:前面的系数之和为定值1

1.（2007·全国Ⅱ）在中，已知是边上一点，若，则（    ）

A．            B．            C．            D． 

2.(2007·江西)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为                ．

应用二:用于向量的线性表示以及求向量的数量比

如图,在ABC中, a, b, M,N分别是边上的点,且a, b,设与交于P, 用向量a,b表示, 并求AP : PN及BP : PM.

应用三:证明共线问题

对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.

求证:M,N,C三点共线.

应用四：求直线方程

在平面直角坐标系中, O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若C满足,其中R,且,则点C的轨迹为           ,轨迹方程为                  .

【练习】

1、已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，则＋的最小值是   A．9          B.           C．5          D.              (　　)

2、如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为A.          B．1    C．2      D．3                     (　　)

四、向量的内积

1、两个非零向量的夹角

已知非零向量.与.,作＝,＝,则____________________叫与的夹角;

范围：    __________________              判断方法：__________________

2、数量积的概念

向量的投影：__________________,向量在方向上的投影.（如图）

投影与射影的关系：_____________________

3、数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积.

4、向量数量积的性质

（1）向量的模与平方的关系： ____=______________.

（2）向量的夹角： _______________________________.

例1．(2005年高考·北京卷·理3文4)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为            

    A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

例2．(2005年高考·江西卷·理6文6)

已知向量    （   ）

    A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

例3．(2005年高考·重庆卷·理4)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为            （   ）

    A．    B．    C．    D．－

例4．(2005年高考·浙江卷·理10)已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（  ）

    A．⊥    B．⊥(－)    C．⊥(－)    D．(＋)⊥(－)

例5 ．(2005年春考·上海卷5)在△中，若，，则              . 

【例6】

1、已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______

2、设=（4,3），在上的投影为，在x轴上的投影为2，且求的坐标

【例7】已知向量=（1,1），=（2,3），=（m+1,m-1）,

（1）若点A、B、C能构成三角形，求m的范围；   （2）若在三角形ABC中，角B为直角，求角A；

五、向量与三角形四心关系

1、三角形四心的概念

（1）重心——____________的交点：重心将中线长度分成____________；

（2）垂心——____________的交点：高线与对应边____________；

（3）内心——____________的交点（__________圆的圆心）：角平分线上的任意点____________________；

（4）外心——____________的交点（__________圆的圆心）：外心到三角形各顶点____________________。

2、四心与向量的结合

（1）是的重心.

设,则x=___________________,y=_______________________;

（2）为的________心.

（3）设, ,是三角形的三条边长，O是ABC的内心

为的内心.

证明：分别为方向上的单位向量， 平分,

)，令（)

化简得

（4）为的外心。

例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的      （     ）

A．外心                     B．内心                C．重心                D．垂心

例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的_______________心；

例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的_____________心

【自主练习】：

1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：

，则的值为______       A．2       B．         C．3        D．6

2．是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若，则是的_________________；

3．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =        

4．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为(    )

A．三边均不相等的三角形        B．直角三角形

C．等腰非等边三角形            D．等边三角形

5. （12辽宁 理数）已知两个非零向量满足，则下面结论正确             (     )

A．           B．       C．      D．

6．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则       (   )

A．                    B．0                 C．1                     D． 

7．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（    ）

A．0                    B．                C．                     D． 

【总结五个向量中的结论】

例题：利用五个结论证明欧拉线

六、向量与三角函数

1、 已知中，，若的面积为，且.

（1）求角的变化范围；     （2）求的取值范围。

2、 已知向量，，定义。

（1）求函数得最小正周期；（2）若，当时，求的取值范围。

3、已知点，且（O是坐标原点）（1）求关于的函数关系式；

（2）若的值，并说明此时的图象可由的图象经过怎样的变换而得到。

4、向量a，b，设函数a·b.

（1）求函数的单调区间；（2）若，求函数的值域。

5、 在中，分别是角的对边，，，求的面积。

6、已知点.

（1）若，求角的值；（2）若的值.

7．(2005年高考·江西卷·理18)

已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

8．(2005年高考·山东卷·理17)

已知向量和，且求的值.

9．(2005年高考·江西卷·理16文16)以下同个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题的序号为            

    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

    ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

    ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

    ④双曲线有相同的焦点.

10．已知向量，且，设．

⑴求及．⑵若的最小值是，求的值．⑶若方程有解，求的取值范围．