2015-2016学年四川省宜宾市双龙中学九年级上期中数学试卷.doc

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效）

1．下列是最简二次根式的为(     )

A．    B．    C．    D．

2．与不是同类二次根式的为(     )

A．    B．    C．    D．

3．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为(     )

A．（x+4）2=9    B．（x﹣4）2=9    C．（x+8）2=23    D．（x﹣8）2=9

4．若关于x的方程x2﹣x+k=0没有实数根，则k的取值范围是(     )

A．    B．    C．    D．

5．若，则的值为(     )

A．    B．    C．    D．

6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(     )

A．50（1+x）2=182    B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182

C．50（1+2x）=182    D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182

7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(     )

A．=    B．=    C．=    D．=

8．已知，===2，则=(     )

A．1    B．3    C．2    D．5

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.

9．如果有意义，那么x的取值范围是__________．

10．已知a，b（a≠b）满足a2﹣3a﹣5=0，b2﹣3b﹣5=0，则+=__________．

11．已知数轴上A，B对应的实数为a，b，化简代数式：|a﹣b|﹣+﹣=__________．

12．试写出一个以﹣1，﹣3为两根的一元二次方程__________．

13．已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为0和﹣3，则p=__________．q=__________．

14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数解，则实数a最大的整式值是__________．

15．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要AED∽△ABC，应添加条件是__________；（只写出一种即可）．

16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为__________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）：解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．

17．化简或解方程：

（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣30﹣|﹣2|

（2）6x2+7x+2=0

（3）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6=0．

18．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a=+1．

19．已知=0，b=+﹣3，求的值．

20．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣3=0

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两根为x1，x2，求出当=﹣4时k的值．

22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加据统计，该商城1月份销售自行车辆，3月份销售了100辆．若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点 A 开始沿边AB向B 以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别同时从A、B出发．

（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）几秒钟后，PQ的长为3cm？

（3）几秒钟时，△ABC与以点P、B、Q为顶点的三角形相似？

2015-2016学年四川省宜宾市双龙中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效）

1．下列是最简二次根式的为(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】最简二次根式． 

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；

B、被开方数含分母，故B错误；

C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C正确；

D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2．与不是同类二次根式的为(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】同类二次根式． 

【分析】先化简，再根据同类二次根式的定答．

【解答】解：A、=2与被开方数项同，是同类二次根式；

B、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；

C、=4与被开方数项同，是同类二次根式；

D、=与被开方数相同，是同类二次根式．

故选：B．

【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

3．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为(     )

A．（x+4）2=9    B．（x﹣4）2=9    C．（x+8）2=23    D．（x﹣8）2=9

【考点】解一元二次方程-配方法． 

【专题】计算题．

【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．

【解答】解：x2+8x+7=0，

移项得：x2+8x=﹣7，

配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9．

故选A

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．

4．若关于x的方程x2﹣x+k=0没有实数根，则k的取值范围是(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】根的判别式． 

【专题】计算题．

【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围．

【解答】解：由题意知△=1﹣4k＜0，

∴k＞．

故选B．

【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．若，则的值为(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】分式的基本性质． 

【专题】计算题．

【分析】根据等式的性质，去掉分母，整理后就可求出．

【解答】解：∵，

∴3x=2x+2y，即x=2y，

∴=．

故选A．

【点评】解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(     )

A．50（1+x）2=182    B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182

C．50（1+2x）=182    D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 

【专题】增长率问题；压轴题．

【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．

【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，

∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．

故选B．

【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

7．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(     )

A．=    B．=    C．=    D．=

【考点】平行线分线段成比例． 

【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

∴A选项正确，

故选A．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．

8．已知，===2，则=(     )

A．1    B．3    C．2    D．5

【考点】比例的性质． 

【分析】根据分式的性质，可得==2，再根据等比性质，可得答案．

【解答】解：由分式的性质，得

==2．

由等比性质，得

=2，

故选：C．

【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.

9．如果有意义，那么x的取值范围是x≥1．

【考点】二次根式有意义的条件． 

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．

【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，

解得：x≥1，

故答案为：x≥1．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

10．已知a，b（a≠b）满足a2﹣3a﹣5=0，b2﹣3b﹣5=0，则+=﹣．

【考点】根与系数的关系． 

【分析】根据题意，可把a和b看作方程x2﹣3x﹣5=0的两根，根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=﹣5，再变形+得到，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵a2﹣3a﹣5=0，b2﹣3b﹣5=0，

∴a和b可看作方程x2﹣3x﹣5=0的两根，

∴a+b=3，ab=﹣5，

∴+===﹣．

故答案为﹣．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

11．已知数轴上A，B对应的实数为a，b，化简代数式：|a﹣b|﹣+﹣=b﹣a．

【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简． 

【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．

【解答】解：原式=b﹣a﹣（b﹣a）+（﹣a）+b

=b﹣a﹣b+a﹣a+b

=b﹣a．

故答案为：b﹣a．

【点评】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简代数式是解题关键．

12．试写出一个以﹣1，﹣3为两根的一元二次方程x2+4x+3=0．

【考点】根与系数的关系． 

【专题】开放型．

【分析】根据根与系数的关系：两根之和=﹣，两根之积=，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．

【解答】解：∵﹣1+（﹣3）=﹣4，（﹣1）×（﹣3）=3，

∴方程为：x2+4x+3=0，

故答案为：x2+4x+3=0．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．

13．已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为0和﹣3，则p=﹣3．q=0．

【考点】根与系数的关系． 

【分析】根据根与系数的关系（x1+x2=﹣，x1•x2=）解答．

【解答】解：设关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为x1、x2．则

x1+x2=﹣3=p，即p=﹣3；

x1•x2=0=q，即q=0；

故答案是：﹣3、0．

【点评】本题考查了根与系数的关系．解答此题需要牢记根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．

14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数解，则实数a最大的整式值是0．

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 

【分析】由关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数解，则a﹣1≠0，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）×3=16﹣12a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数解，

∴a﹣1≠0，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）×3=16﹣12a≥0，解得a≤，

∴a的取值范围为a≤且a≠1，

所以a的最大整数值为0．

故答案为0．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解．

15．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要AED∽△ABC，应添加条件是∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．；（只写出一种即可）．

【考点】相似三角形的判定． 

【专题】开放型．

【分析】已知两个三角形有一个公共角，根据两个角对应相等，两个三角形相似，可以再添加一个角相等；根据两条对应边的比相等，且夹角相等，两个三角形相似，可以添加夹公共角的两条对应边的比相等．

【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，

∴要使△ADE∽△ACB，则需∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．

【点评】此题为开放性试题，首先要找到两个三角形已满足的条件，再结合相似三角形的判定方法进行分析．

16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为x1=x2=5．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 

【专题】新定义．

【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．

【解答】解：（x﹣4）*1=（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1=x2﹣10x+25=0，即（x﹣5）2=0，

解得 x1=x2=5，

故答案是：x1=x2=5．

【点评】本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）：解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．

17．化简或解方程：

（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣30﹣|﹣2|

（2）6x2+7x+2=0

（3）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元二次方程-公式法． 

【分析】（1）先化简二次根式，计算负指数幂，0指数幂，计算二次根式的乘法，化简绝对值，进一步合并得出答案即可；

（2）（3）利用因式分解求得方程的解即可．

【解答】解：（1）4﹣+3﹣﹣1﹣2+

=3；

（2）6x2+7x+2=0

（3x+2）（2x+1）=0

3x+2=0，2x+1=0

解得：x1=﹣，x2=﹣；

（3）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）+6=0

（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣3）=0

x﹣4=0，x﹣5=0

解得：x1=4，x2=5．

【点评】此题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程的方法，掌握化简的方法以及解方程的方法与步骤是解决问题的关键．

18．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a=+1．

【考点】分式的化简求值． 

【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算出括号外面的除法，化简后，再代入a的值即可．

【解答】解：原式=÷（﹣），

=÷，

=•，

=，

当a=时，原式====．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是正确进行分式的化简，掌握计算顺序．

19．已知=0，b=+﹣3，求的值．

【考点】立方根；算术平方根；非负数的性质：算术平方根． 

【分析】根据非负数的性质得到a，b，x的值，代入代数式即可得到结果．

【解答】解：∵=0，b=+﹣3，

∴2﹣a=0，2﹣x≥0，x﹣2≥0，

解得：a=2，2≤x≤2，

∴b=﹣3，x=2，

∴=3．

【点评】本题考查了非负数的性质，立方根的定义，算术平方根的定义，熟记各定义是解题的关键．

20．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质． 

【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得=，再根据AD：DE=3：5，AE=8，可得AD、DE的长，根据比例的性质，可得答案．

【解答】解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，

∴=，

又∵AD：DE=3：5，AE=8，

∴AD=3，DE=5，

∵BD=4，

∴=，即．

∴DC=．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣3=0

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两根为x1，x2，求出当=﹣4时k的值．

【考点】根的判别式；根与系数的关系． 

【分析】（1）由△=b2﹣4ac=（k﹣1）2+12＞0，即可判定无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系，可得x1+x2=k+1，x1•x2=k﹣3，又由=﹣4，可得=﹣4，即可求得k的值．

【解答】（1）证明：∵a=1，b=﹣（k+1），c=k﹣3，

∴△=b2﹣4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣3）=k2+2k+1﹣4k+12=k2﹣2k+13=（k﹣1）2+12＞0，

∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1+x2=k+1，x1•x2=k﹣3，

∴====﹣4，

解得：k1=﹣2，k2=﹣﹣2．

【点评】此题考查了根的判别式．注意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加据统计，该商城1月份销售自行车辆，3月份销售了100辆．若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？

【考点】一元二次方程的应用． 

【专题】销售问题．

【分析】首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可

【解答】解：设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：

（1+x）2=100，

解得x1=﹣225%（不合题意，舍去），x2=25%，

100×（1+25%）=125（辆）．

答：该商城4月份卖出125辆自行车．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，这也是本题的难点．

23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

【考点】一元二次方程的应用． 

【专题】销售问题．

【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．

【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，

根据题意得（40﹣x）=1200，

整理得2x2﹣60x+400=0

解得x1=20，x2=10．

因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，

故每件衬衫应降20元．

答：每件衬衫应降价20元．

（2）设商场平均每天赢利y元，则

y=（40﹣x）

=﹣2x2+60x+800

=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]

=﹣2（x﹣15）2+1250．

∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．

【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；

（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．

24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点 A 开始沿边AB向B 以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别同时从A、B出发．

（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）几秒钟后，PQ的长为3cm？

（3）几秒钟时，△ABC与以点P、B、Q为顶点的三角形相似？

【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定． 

【专题】几何动点问题．

【分析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；

（2）利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．

【解答】解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．

∵AP=1•x=x，BQ=2x，

∴BP=AB﹣AP=6﹣x，

∴S△PBQ=×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，

∴x2﹣6x+8=0，

解得：x=2或4，

即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）由（1）得：（6﹣x）2+（2x）2=（3）2，

解得：x=3或x=﹣．

答：经过3秒PQ的长为3cm；

（3）当△ABC∽△PBQ时，

，

即：，

解得：x=2.4，；

当△ABC∽△QBP时，

，

即：，

解得：x=．

故2.4秒或秒时△ABC与以点P、B、Q为顶点的三角形相似．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．