等腰三角形的典型模型专题练习(解析版)

模型一、角平分线+平行线

1、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AB交AC于点E，若DE=7，CE=5，则AC=（    ）．

    A. 10    B. 11    C. 12    D. 13

答案：C

解答：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD. 

∵DE//AB，DE=7，CE=5，

∴∠CAD=∠ADE．

∴AE=DE=7．

∴AC=AE+CE=7+5=12．

2、如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM//AB，ON//AC，若CB=6，则△OMN的周长是（    ）．

    A. 3    B. 6    C. 9    D. 12

答案：B

解答：∵OM//AB，

∴∠ABO=∠BOM，而∠ABO=∠OBM，则∠BOM=∠OBM．

∴△OBM为等腰三角形，且OM=BM．

同理可证ON=CN．

故C△OMN=OM+ON+MN=BM+CN+MN=BC=6．

选B. 

3、如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（    ）．

①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△CSP．

    A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

答案：B

解答：①PA平分∠BAC. 

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，

∴△APR≌△APS，

∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC. 

②由①中的全等也可得AS=AR．

③∵AQ=PQ，

∴∠1=∠APQ，

∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，

又∵PA平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠1，

∴∠PQS=∠BAC，

∴PQ//AR．

④∵PR⊥AB，PS⊥AC，

∴∠BRP=∠CSP，

∵PR=PS，

∴△BRP不一定全等于△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．

选B. 

4、如图，在△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN//BC，分别交AB、AC于点M、N，若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．

答案：3

解答：∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠CBO．

∵MN//BC. 

∴∠MOB=∠OBC，

∴∠ABO=∠MOB，

∴BM=OM．

同理，ON=CN，

∴BM=MN-CN=5-2=3cm．

故答案为：3．

5、如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE//AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为______．

答案：130°或50°

解答：如图，DF=DF’=DE．

∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：

△BDEmathbf△BDF，

∴∠DFB=∠DEB. 

∵DE//AB，∠ABC=50°，

∴∠DEB=180°-50°=130°．

∴∠DFB=130°．

当点F位于点F’处时，

∵DF=DF’，

∴∠DF’B=∠DFF’=50°，

故答案是：50°或130°．

6、如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF//BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为______．

答案：7

解答：

∵BE，CE为∠ABC和∠ACB的平分线，

∴∠1=∠2，∠5=∠6，

∵DF//BC，

∴∠2=∠3，∠4=∠6，

∴∠1=∠3，∠4=∠5，

∴DB=DE，FE=FC，

∴C△ADF=AD+DF+AF

=AD+AF+DE+EF

=AD+AF+DB+FC

=AB+AC

=7．

7、已知如图：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相较于点O，过点O作EF//BC分别交AB、AC于E、F．

（1）写出线段EF与BE、CF之间的数量关系？（不证明）

（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图，图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．

（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过点O作OE//BC交AB于E，交AC于F，如图，这时图中线段EF与BE、CF间存在什么数量关系？请说明理由．

答案：（1）EF=BE+CF．

（2）仍然有EF=BE+CF．

（3）EF=BE-CF．

解答：（1）EF=BE+CF．

（2）仍然有EF=BE+CF，理由如下：

∵EF//BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∴∠EOB=∠EBO，

∴OE=BE，同理OF=FC，

∴EF=EO+OF=BE+CF．

（3）EF=BE-CF，理由如下：

∵OE//BC，

∴∠EOC=∠OCD，

∵CO平分∠ACD，

∴∠FCO=∠OCD，

∴∠FCO=∠FOC，

∴OF=CF，

同理可得到BE=EO，

∴EF=EO-FO=BE-CF．

8、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线交于点F，过点F作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E．

（1）图中除△ABC之外，还有几个等腰三角形，请分别写出来．

（2）若EC=6，BD=8，求DE的长．

答案：（1）△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______

（2）2．

解答：（1）有题意可知∠ABF=∠CBF=∠DFB，∠A=∠DEA=∠BCA，∠DFC=∠ACF=∠FCG，

∴△DAE，△DBF，△ECF是等腰三角形．______

（2）∵DF//BC，

∴∠DFB=∠FBC，

又∵BF是∠ABC的角平分线，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠DBF=∠DFB，

∴△DBF是等腰三角形，

∴DF=DB=8．

又DF//BC，

∴∠DFC=∠FCG，

又∵CF是∠ACG的角平分线，

∴∠FCG=∠DFC，

∴∠ACF=∠DFC，

∴△ECF是等腰三角形，

∴EF=EC=6，

∴DE=DF-EF=8-6=2．

模型二、角平分线+垂线

9、如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（    ）．

    A. 1    B. 1.5    C. 2    D. 2.5

答案：A

解答：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，

∴BC=CE．

又∵∠A=∠ABE，

∴AE=BE．

∴BD=BE=AE=（AC-BC）．

∵AC=5，BC=3，

∴BD=（5-3）=1．

选A. 

10、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，线段AD是△ABC的角平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，若BE=4，则AD=______．

答案：8

解答：延长AC，与BE交于点F，

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∠EBD+∠BDE=90°，

∠BDE=∠ADC，

∴∠EBD=∠DAC，

在△CBF和△CAD中，

，

∴△CBF≌△CAD（ASA），

∴AD=BF，

∵△ABF中，AE⊥BF，∠BAE=∠FAE，

∴△ABF是等腰三角形，

∴BE=EF，

∴AD=2BE=8．

故答案为：8．

11、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2=∠1+∠C. 

答案：证明见解答．

解答：如图，延长AD交BC于F．

∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，

∠ADB=∠FDB=90°，

∴Rt△ABD≌Rt△FBD. 

于是∠2=∠DFB. 

∵∠DFB=∠1+∠C，

∴∠2=∠1+∠C. 

12、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD与点D，∠ACD=2∠B，若CD=8，AB=26，求AC的长．

答案：AC=10．

解答：如图，延长CD交AB于点E．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2．

∵CD⊥AD，

∴∠ADE=∠ADC=90°

∵在△ADE和△ADC中

，

∴△ADE≌△ADC（ASA）．

∴DE=CD=8．

∠AEC=∠ACD. 

又∵∠ACD=2∠B，

∠AED=∠B+∠ECB. 

∴∠B=∠ECB. 

∴BE=CE=16，

∴AC=AE=AB-BE=10．

模型三、垂直平分线

13、如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB+BE=BC，则∠B的度数是（    ）．

    A. 45°    B. 50°    C. 55°    D. 60°

答案：B

解答：连接AE，

∵MN垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=2∠C，

又∵AB+BE=BC，

∴AB=AE=CE，

∴∠ABE=∠AEB=2∠C，

又∵∠A=105°，

∴∠B=×2=50°．

14、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A的度数是（    ）．

    A. 35°    B. 40°    C. 50°    D. 55°

答案：C

解答：∵DM是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A，

∵等腰△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=-∠A=15°，

解得：∠A=50°，

选C. 

15、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为______度．

答案：60

解答：∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°．∵线段AB的垂直平分线交AB于D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=20°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．

16、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD，若AD=14，则BC的长为______．

答案：7

解答：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD=14，

∴∠A=∠ABD=15°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，

在Rt△BCD中，BC=BD=×14=7．

17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，CF=3，则BF的长为______．

答案：6

解答：连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C==30°，

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，

∴CF=AF，

∴∠FAC=∠C=30°，

∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，

在Rt△ABF中，∠B=30°，

∴BF=2AF，

∴BF=2CF=6．

18、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E．

（1）求证：AE=2CE．

（2）连接CD、请判断△BCD的形状，并说明理由．

答案：（1）证明见解答．

（2）△DBC为等边三角形．

解答：（1）连BE，

∵ED垂直平分AB，

∴EA=EB，

∴∠EAB=∠EBA，

∵∠A=30°，∠C=90°，

∴∠ABC=60°，∠EBC=30°，

∵在Rt△EBC中，∠EBC=30°，

∴BE=2EC，

∵EB=EA，

∴AE=2CE．

（2）∵ED垂直平分AB，

∴AD=DB，

∵在Rt△ACB中，∠C=90°，

∴CD=BD，

又∵∠ABC=60°，

∴△DBC为等边三角形．

19、如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．

答案：20°．

解答：在△ABC中，∠BAC=80°，

∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EB=EA，

∴∠BAE=∠B，

同理可得∠CAF=∠C，

∴∠EAF=∠BAE+∠CAF-∠BAC

=∠B+∠C-∠BAC=20°．

模型四、倍角

20、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD

答案：

解答：延长CB到点E，使得BE=AB，连接AE

得△ABE为等腰三角形

，∴∠1=∠E，∠B=2∠E

∵∠B=2∠C

∴∠C=∠E

∴△ACE为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴CD=DE

∴AB+BD=BE+BD=DE=CD

21、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC. 求证：∠A=90°．

答案：

解答：作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，

∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB

∴∠B=∠BCD

即△DBC是等腰三角形

∵DE⊥BC

∴BC=2CE

又BC=2AC

∴AC=CE

易证≌△ACD≌△ECD（SAS）

∴∠A=∠DEC=90°