解析：解决本题可以利用数形结合法求解，如图分别画出函数、、、的图象，
x y )21(=x
y 2=x y 2log =x y 21log =图象之间的交点分别是a 、b 、c ，由图象易知，所以
c b a <<选择A 。
点评：解决本题需要函数的思想，把a 、b 、c 对应的值看成相
应函数的交点的值，而函数的图象容易画出，由交点的情况
容易知道a 、b 、c 的大小关系。函数的图象确实是解决函数问
题的有力的工具。在其它方法不奏效的情况下，首先想到利用函数的图象解决。
2、构造函数利用零点分布
例2、关于x 的方程有两个实数解，求实数a 的取值范围。 043)4(9=+++x
x a
解：令t ＝，则问题等价于方程在上有两个实根。 x 304)4(2
=+++t a t ),0(+∞令f （t ）＝，则有 解得a<－8. 4)4(2+++t a t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+->-+=∆0
4)0(024016)4(2f a a 点评：解决本题注意问题的等价转化，把方程问题转化为函数的零点分布解决，应该注意转化为在区间（0，＋上有两个实数根。本题常常因为转化不等价产生错误。
)∞ 例3：设函数与的图象的交点为，则所在的区间是
3y x =212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭00()x y ，0x （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． (01)，(12)，(23)，(34)，
解：根据函数与方程关系，两函数图象交点即转化为求函数的零
2321()(--=x x x f 点所在区间，由于f （1）＝1－2<0，f （2）＝8－1>0，所以在。 (12)，点评：由于函数y ＝f （x ）的零点就是方程f （x ）＝0的根，所以在研究方程的有关问题，如：比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决
3、构造函数利用性质
例4、已知，求的值。
015323=-+-ααα055323=-+-ββββα+分析：两方程常数项不同，因此，不能将看作一个方程的根而直接用韦达定理求βα,解。
解：；
=-+-15323ααα02)1(2)1(3
=+-+-αα而，
=-+-55323βββ02)1(2)1(3=--+-ββ将变形，得，构造函数 02)1(2)1(3=--+-ββ02)1(2)1(3=+-+-ββ，则f （x ）在R 上单调增，
22)(3++=x x x f )1()1(βα-=-f f 所以，所以＝2.
βα-=-11βα+点评：解决本题通过构造适当的函数，利用单调性找等量关系，有时利用奇偶性找等量关系。
4、构造函数模型解决实际问题
例5、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与y t y t
的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭a （I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小
y t 时）之间的函数关系式为 ；
（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学
0.25生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过
小时后，学生才能回到教室．
解析：（I ）由图象易知函数应该是分段函数，当
1.00≤≤t 时，设解析式为y ＝kx ，由于图象经过（0.1，1）代入函数的解析式得：
y ＝10x ；当时，函数为类指数型，且图象也经过（0.1，1）代入t <1.0中，得a ＝0.1
116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以函数的关系式为： ⎪⎩⎪⎨⎧=-1.0)161(10t x y 1
.01.00>≤≤t t （II ）由题意得：当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时应该满足第二个函数的0.25解析式，即，解得，所以至少需要经过0.6小时学生才能够进入教25.016
1(1.0≤-t 6.0≥t 室。
点评：新课标加大了对应用问题的考查，通过近几年考题观察，函数的应用问题也正悄然变化，即情景文字与图形的结合考查，本题涉及一次函数、指数函数等知识，理解题意、看懂图表、图象是求解本题的关键。图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的题型。采用分段函数进行函数建模，解决关键是对自变量x 的取值进行合理分段。不同分段上的函数式选择不同的函数模型进行合理表达，渗透了分类讨论数学思想方法。
5、变函数为方程，求解值域
例6、已知函数的值域为[－1，4]，求常数a ，b. )0,(1
2≠∈++=
a R x x
b ax y 且解：因为函数的值域为[－1，4]，所以对于任意 )0,(1
2≠∈++=a R x x b ax y 且必有使成立，所以关于x 的方程有实根， ]4,1[-∈x R x ∈1
2++=x b ax y b ax x y +=+)1(2即方程，若y ＝0，则； 0)(2=-+-b y ax yx R a b x ∈-=若，则，即，而
0≠y 0)(42≥--=∆y b y a 0442
2≤--a by y .41≤≤-y 所以方程的两根为－1，4，由根与系数关系，得b ＝3， 04422=--a by y 162=a 故 .3,4=±=b a
点评：本例在于构造出关于x 的一元二次方程后，借助判别式解决问题，它是方程思想的一个体现。用判别式解题，关键在于构造一个适当的一元二次方程，让需要研究的量处于方程系数位置上。
例7、对于函数y ＝f （x ）（，若同时满足下列条件：①f （x ）在D 内为单调函)D x ∈数；②存在区间使f （x ）在上的值域为，那么y ＝f （x ）叫闭函数，,],[D b a ⊆],[b a ],[b a 若y ＝k ＋是闭函数，求实数k 的取值范围。
2+x 解：由题意知存在，使的y ＝k ＋
在上的值域为，),2[],[+∞-⊆b a 2+x ],[b a ],[b a 因为y ＝k ＋在上是增函数，所以，所以a 、b 是方程y ＝k 2+x ),2[+∞-⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2
2b k b a k a ＋的两个相异的实根，由x ＝k ＋2+x 2+x k
x x -=+⇔2，即方程⎩⎨⎧≥=-++-⇔⎩⎨⎧≥-=+⇔k
x k x k x k x k x x 02)12()(222202)12(22=-++-k x k x 在上有两个相异的实根。设g （x ）＝，则有),[+∞k 02)12(2
2=-++-k x k x ，解得。 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++-=>+>--+=∆0
2)12()(2
120)2(4)12(2222k k k k k g k k k k 249-≤<-k 点评：上面的例题用方程的观点把函数与方程紧密联系起来，应用方程的知识使得问题得以解决。本例题意新颖解决这类问题的关键是：一是熟读题目，搞清告诉的新概念、新运算、新函数；二是把掩盖在新概念下的知识挖掘出来，转化为已有的知识来解决。
6、变直线与曲线的相交为方程
直线与圆锥曲线位置关系是高考中反复考查的热点内容，主要考查直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长问题、弦中点或相关点轨迹问题，直线的倾角斜率问题，三角形面积问题，对称问题，存在性问题。在这类题目中常常涉及到方程的思想。
例8、如图，直线与椭圆交于两点，记y kx b =+2
214
x y +=A B ，AOB △的面积为．
S （I ）求在，的条件下，的最大值；
0k =01b <2AB =1S =AB 解（Ⅰ）：设点的坐标为，点的坐标为，
A 1()x b ，
B 2()x b ，由，解得
2214
x b +
=12x =±，
1112||2
122221=-+≤-=-=b b b b x x b S 当且仅当
取到最大值． b =
S 1（Ⅱ）解：由，得， 2214
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭2241k b ∆=-+ ②
241141||1||2
222212=++-+=-+=k b k k x x k AB 设到的距离为，则，又因为，所以，代入②O AB d 21||S
d AB ==d =221b k =+式并整理，得，解得，代入①式检验， 42104k k -+
=212k =232
b =0∆>故直线的方程是
AB 或或，或
y x =+y x =y =y =点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．由于直线与曲线的交点问题是由它们组成的方程组的解的问题，从而使几何问题代数化，再从方程组的解分析中去认识交点问题，进而解决诸如交点坐标、弦长、中点等有关问题。
三、 两种思想的总结
构造函数或方程并不是一眼就能看出来的，需要敏锐的洞察力，深层挖掘其内在联系， 构造函数与方程可以归纳为：
（1）观察题目类型和结构，构造出所求问题的函数或方程模型；（2）利用有关函数或方程的定理、性质等，得出相应的结论；（3）将函数或方程模型中的结论返回原理，得出正确的结论。函数和方程许多方面是可以互相转化，不等式和曲线也都与方程有关，因此构造函数或方程模型有很广泛的应用。用这种方法解题时要注意到恒等变形和不等证明的技巧，多方面联想和思考，才能得出精巧的解法。
