近世代数基础 第三章 环与域

本章主要讨论两种代数系统，在高代中看到了，全体整数作一个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作一个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。

§3.1  加群、环的意义

● 课时安排  约1课时

● 教学内容  本书P80-84

定义：一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。

在群中有零元、负元

定义：一个集R叫做一个环，假如：

1、R是一个加群；‘

2、R对乘法运算封闭

3、适合结合律

4、两个分配律成立

● 教学重点  加群和环的定义

● 教学难点  环的运算性质的证明

● 教学要求 了解加群和环的关系

● 布置作业 P84   2

● 精选习题 P84  1

§3.2  交换律、单位元、零因子、整环

● 课时安排   约1课时

● 教学内容   本书P84-P

定义：一个环R叫做一个交环环，假如ab=ba

不管a1b是R的哪两个元

定义：一个环R的一个元e叫做一个单位元。假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a 

例1：书上P85

定义：一个有单位元环的一个元b叫做a的一个逆元。假如：

ba=ab=1

例2：P86

定义：若是在一个环里a≠0，b≠0，但ab=0

则a是环的一个左零因子，b是一个右零因子。

例3：P88

定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立。

a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c

反之也成立

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。

定义：一个环R叫做一个整环，假如：

1、乘法适合交换律：ab=ba；

2、R有单位元1：|a=a|=a

3、R没有零因子：ab=0=>a=0或b=0

● 教学重点  交换环、整环、单位元、零因子

● 教学难点  剩余类环和定理的证明

● 教学要求 掌握以上内容

● 布置作业 P  1，2，5

● 精选习题 P  3，4

§3.3  除环、域

● 课时安排  约1课时

● 教学内容  P-93

例1：P90

例2：P90

定义：一个环R叫做一个除环，假如：

1、R至少包含一个不等于零的元；

2、R有一个单位元；

3、R的每一个不等于零的元有一个逆元。

定义：一个交换除环叫做一个域。

例3：P92

为了上述内容的关系看得更清楚，注意如下列表

                       环

交换环          有单位元环            无零因子环

整环                         除环

                       域

● 教学重点  除环和域

● 教学难点 它们之间的关系

● 教学要求 正确理解上述表

● 布置作业 P93  1，2，4

● 精选习题 P93  3，5

§3.4  无零因子环的特征

● 课时安排   约1课时

● 教学内容   P93-97

例1：P94

例2：P95

定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

定义：一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的特征。

定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数m，那么n是一个素数。

● 教学重点 特征

● 教学难点 两个定理的证明过程

● 教学要求 掌握本节内容

● 布置作业 P97  1

● 教学辅导 P97  2，3，4

§3.5  子环、环的同态

● 课时安排   约2课时

● 教学内容   P97-101

定义：一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对R的代数运算来说作成一个环。

例1：P98

例2：P98

定理1：若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一乘法来说都同态，那么R也是一个环。

定理2：假定R和R是两个环，并且R与R同态，那么，R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R也是交换环，假如R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。

定理3：假定R同R是两个环，并且R≌R，那么，若R是整环，R也是整环，R是除环，R也是除环，R是域，R也是域。

引理：P99

定理4：假定S是环R的子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且S≌S，那么存在一个R同构的环R，而且S是R的子环。

● 教学重点  同态和同构定理

● 教学难点  引理和定理4的证明

● 教学要求  理解同构、同态思想

● 布置作业  P101  1，2，3

● 教学辅导  P101  4，5，6

§3.6  多项式环

● 课时安排   约2课时

● 教学内容  P101-109

定义：一个可以写成

a0+a1∝+….+an∝n(a1∈R, n≥0的整数)

形式的R0的元叫做R上的∝的一个多项式。

ai叫做多项式的系数

定义：R[∝]叫做R上的∝的多项式环。

定义：R0的一个元X叫做P上的一个未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,….an来，使得

a0+a1x+….+anxn=0

定义：令a0+a1x+….+anxn，an≠0

是环R上的一个一元多项式，那么非负整数n叫做这个多项式的次数，多项式o没有次数。

定理1：给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元X存在，即R上的多项式环R[X]存在。

定义：一个有∑ai1i2…in∝1i1∝2i2…∝nin的形式的元叫做R上的∝1, ∝2,…∝n的一个多项式；ai1..in叫做多项式的系数。

定义：R0的n个元X1，X2…,Xn叫做R上的无关未定元，假如任何一个R上的X1，X2,…，Xn的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。

定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元X1，X2，…Xn存在，因此，R上的多项式环R[X1，X2，…Xn]也存在。

定理3：假定R[X1，X2，…Xn]和R[∝1，∝2，…∝n]都是有单位元的交换环R上的多项式环X1，X2，…Xn是R上的无关未定元，∝1，∝2，…∝n是R上的任意元，那么R[X1，X2，…Xn]与R[∝1，∝2，…∝n]同态。

● 教学重点  正确理解多项式环的本质。

● 教学难点  定理（1-3）的证明过程

● 教学要求  本节中的全部内容掌握好。

● 布置作业  P109  2

● 教学辅导  P109  1，3，4

§3.7  理想

● 课时安排   约2课时

● 教学内容  P110-113

定义：环R的一个非空子集I叫做一个理想子环，简称理想，假如：

（i）a,b∈I=>a-b∈I

（ii）a∈I, r∈R=>ra, ar∈I

定理1：一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位理想。

例1：P111

例2：P111

定义：主理想 P111

定义：生成理想P112

● 教学重点  理想、主理想、生成理想

● 教学难点  理想概念和定理1的证明

● 教学要求  理解理想思想、构作最小理想

● 布置作业  2，5

● 教学辅导  1，3，4

§3.8  剩余类环，同态与理想

● 课时安排   约1课时

● 教学内容  P113-116

定理1：假定R是一个环，I是它的一个理想，R是所有模I的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。

定义：R叫做环R的模I的剩余类环，用符号R/I来表示。

定理2：假定R同R是两个环，并且R与R同态，那么这个同态满射的核I是R的一个理想，并且R/I≌R。

定理3：在环R到环R的一个同态射之下。

（i）R的一个子理S的象S是R的一个子环；

（ii）R的一个理想I的象I是R的一个理想；

（iii）R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；

（iv）R的一个理想I的逆象I是R的一个理想。

● 教学重点  环与剩余类环之间的关系

● 教学难点  证明定理1，2，3

● 教学要求  掌握好本节内容，并用好

● 布置作业  P110  3

● 精选习题  P116  1，2

§3.9  最大理想

● 课时安排  约2课时

● 教学内容  P116-119

定义：一个环R的一个不等于R的理想I叫做一个最大理想，假如，除了R同I自己以外，没有包含I的理想。

例1：P117

引理1：假定I≠R是环R的理想，剩余类环R/I除了零理想同单位理想以外不再有理想，当且仅当I是最大理想的时候。

引理2：如果一个单位元的交换环R除了零理想同单位理想以外没有其它理想，那么R一定是一个域。

定理：假定R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，R/I是一个域，当且仅当I是一个最大理想的时候。

例2：P118

● 教学重点  理想最大理想和它的重要条件

● 教学难点  两个引理的证明过程

● 教学要求  充分掌握好最大理想概念

● 布置作业  P119   1

● 例题精讲  P119   2，3，4

§3.10  商域

● 课时安排 约1课时

● 教学内容 P119—124

定理1：每个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环.

定理2：Q刚好是由所有元    （a，b∈R  b≠0）

所成的，这里   =ab-1=b-1a

定义：一个域Q叫做环R的一个商域，假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元    （a，b∈R  b≠0）所作成的。

定理3：假定R是一个有两个以上的元的环F是一个包含R/ 一个域，那么F包含R的一个商域。

定理4：同构的环的商域也同构。

● 教学重点  商域概念 等价关系

● 教学难点  定理1，2，3的证明过程

● 教学要求  掌握好本节的全部内容

● 布置作业  P124  1，2