大一高数笔记

（一）极限

1. 概念  

（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义）

   ，，当时，有。

（2）单侧极限

   左极限： ，，当时，有。

   右极限： ，，当时，有。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限

定义1：，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的极限，记为。

为曲线的水平渐近线。    

定义2：，当时，成立，则有。

定义3：，当时，成立，则有。

运算法则：

1)1)        若，，则。

2)2)        若，，则。

3)3)        若，则。

注：上述记号是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义

   ，，当时，有，则称函数在时的无穷小（量），即 。

（5）无穷大的定义

   ，，当时，有，则称函数在时的无穷大（量），记为 。

直线为曲线的垂直渐近线。

2．无穷小的性质

定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

若，且不取零值，则是时的无穷小。

3．极限存在的判别法

（1）。

     。

（2），其中是时的无穷小。

（3）夹逼准则：设在点的某个去心邻域内有 ，且已知和，则必有 。

4．极限的性质

（1）极限的唯一性  若且，则。

（2）局部有界性    若，则，在点的某个去心邻域内有。

（3）局部保号性

（I）若，且（或），则必存在的某个去心邻域，当时，有（或）。

（II）若在点的某个去心邻域内有（或），且，则（或）。

5．极限的四则运算与复合运算

设是常数，则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

则.

6．两个重要极限

（1）；     （2）  或  。

7．无穷小的阶的比较

若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则

（1）若，则称关于是高阶无穷小量，记作；

（2）若，则称和是等价无穷小量，记作；

（3）若，则称和是同阶无穷小量，记作；

一般情况下，若存在常数，，使成立 ，就称和是同阶无穷小量。

（4）若以作为时的基本无穷小量，则当（为某一正数）时，称是阶无穷小量。

定理1 。

定理2 设，，且 存在，则。

常用的等价无穷小

时，，

           。

（二）函数的连续性

1．定义

   若函数在点的某个邻域内有定义，则在点处连续   。

2．连续函数的运算

  连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；

连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；

一切初等函数在定义区间内都是连续函数。

3．间断点

（1）间断点的概念

  不连续的点即为间断点。

（2）间断点的条件

   若点满足下述三个条件之一，则为间断点：

  （a）在没有定义；

  （b）不存在；

  （c）在有定义，也存在，但。

（3）间断点的分类：

（i）第一类间断点：在间断点处左右极限存在。它又可分为下述两类：

可去间断点：在间断点处左右极限存在且相等；

跳跃间断点：在间断点处左右极限存在但不相等；

（ii）第二类间断点：在间断点处的左右极限至少有一个不存在。

4．闭区间上连续函数的性质

（1）概念

   若函数在区间上每一点都连续，在点右连续，在点左连续，则称在区间上连续。

（2）几个定理

最值定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有最大和最小值。

有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有界。

介值定理：如果函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任一值，必有，使得。

零点定理：设函数在闭区间上连续，若，则必有，使得。

（三）导数

1．导数的概念

（1）定义  设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量 ，若极限

存在，则称此极限值为函数在点处的导数（或微商），记作

。

导数定义的等价形式有

。

（2）左、右导数

左导数              右导数 

存在 。

2．导数的几何意义

函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，从而曲线在点处的

切线方程为        

法线方程为        

3．函数的可导性与连续性之间的关系

  函数在点处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

  因此，若函数点处不连续，则点处必不可导。

4．求导法则与求导公式

（1）四则运算  若均为可导函数，则

，                   ，

，        （其中为常数），

，  （）。

（2）复合函数求导

设，，且和都可导，则复合函数的导数为

。

（3）反函数的导数

    若是的反函数，则 。

（4）隐函数的导数

由一个方程所确定的隐函数的求导法，就是先将方程两边分别对求导，再求出即可。

（5）对数求导法

先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。

对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。

（6）参数方程的导数

若参数方程  确定了一个函数 ，且均可导，则有

。

（7）基本初等函数的导数公式

          （，）    

          （，）  

5．高阶导数

（1）高阶导数的概念：

   函数的一阶导数的导数称为的二阶导数，的二阶导数的导数称为的三阶导数，… …，的阶导数的导数称为的阶导数，分别记为

，或。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。

（2）常用的阶导数公式

 ，               ，

，    ，

。

（3）莱布尼茨公式

 设和都是次可微函数，则有      。

复习指导

重点：求函数的极限、连续、导数。

难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。

1．求极限的方法：

（1）利用定义（语言）证明。

（2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。

（3）初等函数在定义区间上求极限：。

例：。

（4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。

例：。

（5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。

例：    但  。

（6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。

例：。

（7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。

例：求。       因为，所以。

（8）幂指函数求极限：若，，则。

（9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。

2．无穷小：

（1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。

（2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。

（3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。

3．连续性的判断：

重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进行判断。

4．间断点

（1）掌握间断点的分类规则，以及如何求解函数的间断点并对其分类。对于初等函数，首先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要讨论它的分段点。

（2）注意对于可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。

5．闭区间连续函数的性质

掌握利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到一个特定数值时，通常的方法是在这个闭区间内找两个函数值（一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大和最小值），使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。

当要证明方程在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得在这两点的函数值一正一负，从而利用零点定理得出结论。

5．可导、连续和极限三个概念的关系：

 在点可导在点连续在点有极限；

 但上述关系反之均不成立。

6．可导的判断：

  （1）若函数在某一点不连续，则必不可导。 

（2）分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念进行判断。

7．求导数的方法：

（1）利用导数的定义求导数。

（2）利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求初等函数的导数。

（3）利用复合函数求导的链式法则。

（4）利用隐函数求导法则。此时需注意若在方程中出现的函数项，则在对自变量求导

时，对这一项需利用复合函数求导的法则。

例：设，求。

解：方程两边同时对求导，有 ，所以。

（5）利用反函数求导法则。

（6）利用参数方程求导法则。此时需注意得到的对的导数实际上仍然由一个参数方程

所确定。

（7）利用对数求导法则。它主要在如下两种情况中应用：

（i）幂指函数求导； （ii）需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。

（8）分段函数在分段点处需利用左右导数求导。

第3章  微分学的基本定理

内容提要

（一）微分

1．概念

微分的定义：设函数在点处可微，给定自变量的增量，称对应的函数增量的线性主部为函数在点处的微分，记作或。

2．常用的微分公式

 （为常数）                 

（，）      

（，）   

3．微分运算法则

（1）四则运算

；

；

。

（2）复合函数微分

若，，则    。

4．微分形式的不变性

   若，，则有   。

5．微分在近似计算中的应用

   当很小时，有： ，

。

（二）微分中值定理

1．罗尔定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则必存在，使得  。

2．拉格朗日中值定理：设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则必存在，使得成立     。

推论1 设函数在闭区间上连续，开区间内可导，若对任意有则在上恒为常数。

推论2 若在内恒有，则存在常数，使得，。

3．柯西中值定理：设函数和均在闭区间上连续，在开区间上可导，且它们的导数不同时为零，又，则必存在，使得成立

。

4．有限增量公式

   若函数在上连续，在上可导，则

，。

或                           ，

其中，。

（三）洛必达法则

1．型的洛必达法则：

若和满足

（1）；

（2）和在内可导，且；

（3），则。

（把改为等，法则仍然成立）。

2．型的洛必达法则：

若和满足

（1）；

（2）和在内可导，且；

（3），则。

（把改为等，法则仍然成立）。

3．其他待定型： ，，，，。

复习指导

重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求极限，泰勒公式。

难点：中值定理的应用。

1．中值定理的应用

（1）注意中值定理的条件只是充分条件，不是必要条件。

（2）中值定理的这些条件缺一不可。

（3）中值定理经常运用在等式和不等式的证明中。例如在证明时，可以构造一个辅助函数，将等式转化为的形式，而后验证在某个闭区间上满足中值定理的条件，从而得出结论。在证明一个不等式时，可以考虑将其和一个函数及此函数在某个闭区间的两个端点上的函数值联系起来，从而可以利用拉格朗日中值定理得出结论。

3．洛必达法则

洛必达法则是解决待定型极限问题时的一种简便而有效的方法，但使用时注意以下几点：

（1）每次使用前必须判断是否属于七种待定型：

。

盲目使用将导致错误。

（2）洛必达法则的条件是充分的而非必要的，遇到不存在时，不能断定不存在。

例：，但  不存在。

（3）有些极限问题虽然满足洛必达法则的条件，但用此法无法求出极限

例：，

但事实上。

（4）洛必达法则对待定型的极限有特效，但并不是万能的，有时也并非为最佳的解题方法。

例：    用泰勒公式展开较简便。

例：    用微分中值定理较简便