山东济南2023年历下区中考数学二模考试试题(含答案)

满分150分         时间：120分钟

一、单选题。（每小题4分，共40分）

1.4的算术平方根是（    ）

A.－2           B.2        C.16          D.

2.如图三棱柱的主视图是（    ）

3.根据国家统计局在2023年1月的数据显示，2022年我国科研发展经费投入达30870亿元，其中“30870亿”用科学记数法表示为（    ）

A.3.087×1013     B.3.087×1012      C.0.30787×1014     D.3.087×1014    4.如图，a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1=50°，则∠2的度数是（    ）

A.40°         B.52°         C.26°          D.34°

（第4题图）                                 （第7题图）

5.在下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A.矩形         B.菱形       C.圆          D.等边三角形

6.已知a＜b，下列不等式成立的是（    ）

A.﹣2a＜﹣2b            B.2a－1＜2b－1        C.＜     D.a+2＞b+2

7.如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（    ）

A.             B.            C.            D.

8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，射线BG恰好经过顶点D，下列结论不一定成立的是（    ）

A.AB=AD      B.∠ABO=∠CBO     C.AC⊥BD      D.BC=2CO

(第8题图)                           （第9题图）   

9．已知A、B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y（千米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（    ）

A.分钟          B.7分钟    C.分钟     D.8分钟

10.已知二次函数y=﹣x2+（b－1）x+b（b＞0，x＞0），分别交x轴、y轴于P、Q两点，点C的坐标是（2，1），若在线段PQ上存在A、B两点使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则b的取值范围是（    ）

A.1≤b＜3或b＞3        B.1≤b＜或b＞3        C.b＞3       D.b≠3

二．填空题。（每小题4分，共24分）

11.分解因式：2x2－xy=             .

12.如图小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某地方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是        ．

(第12题图)          （第15题图）           （第16题图）

13.一个多边形的每个外角的度数都是45°，则这个多边形的边数是         ．

14.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n＝        ．

15.如图，已知扇形AOB的半径OA=2，∠AOB=120°，将扇形AOB绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO’B’，则图中阴影部分的面积是           ．

16.利用图形的分、合、移、补探究图形关于是我国传统数学的一种重要方法，如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，面积是88，则NQ=          ．

三、解答题。

17.（6分）计算2sin60°－++－（﹣）0.

18.（6分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解.

19.（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC、CD上，且CE=CF．求证：AE=AF.

20.（8分）总说：读数可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气，某学校开展读红色经典，传精神为主题的读数活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集，整理和分析，过程如下：

[数据收集]

4  4  3  3  5  5  5  7  7  7  7  6  6  6  6  6  

6  8  8  8  8  9  9  10  10  10  10  11  12  13

[数据整理]

   将收集的30个数据按A、B、C、D、E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A：3≤t＜5，B：5≤t＜7，C：7≤t＜9，D：9≤t＜11，E：11≤t＜13，其中t表示阅读时间）；

[数据分析]

（1）补全频数分布直方图：

（2）填空：m=        ；n=       .

（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为         ;

（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数.

21（8分）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1：2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内，某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°，（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）

（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；

（2）求楼AB的高度．

22.（8分）如图，在△ABC中，以BC为直径作O交AC于点D，且点D为AC中点，过点D作O的切线DE交BC的延长线于点E.

（1）求证：AB=BC；

（2）若AB=8，cos∠ABC=，求线段CE的长．

23.（10分）某学校图书馆购进甲，乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进件比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书数量与购买450元乙图书的数量相同．

（1）求甲、乙两种图书每本的进件分别是多少元；

（2）某中学计划购进甲，乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？求出最少费用．

24.（10分）如图，矩形ABCD的边BC在平面直角坐标系的x轴上，矩形对角线交于点M（2，2），过点M的反比例函数y=（x＞0）与矩形的边AD交于点E（1，a），AE=3，直线EM交x轴于点F．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）若点P为x轴上一点，当PM+PD最小时，求出点P的坐标；

（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B、E、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

                                                                  备用图  

25.（12分）如图，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α，（0＜α＜360°），连接EC，取EC的中点F，连接AF,DF．

（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是        ，数量关系是        ，

（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：

小聪：过点D作MD⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N.....

小明：延长ED至点G，使DG=DE，延长CA至点H使AH=AC，连接GB、BH......

小宇：延长DF至点P，使DF=PF，连接PC，AD，AP......

请选择一种思路，完善证明过程：

(3)若AB=6，BD=2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长.

图1                       图2                         图3

26.（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx－2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC、BC．

（1）求抛物线的解析式和顶点G的坐标；

（2）如图2，若平移抛物线y=ax2+bx－2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴交点为D，连接DG,CG，当S△CDG=时，求点M的坐标；

（3）如图3，若将抛物线y=ax2+bx－2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，请直接写出抛物线y=ax2+bx－2平移的最短距离以及抛物线的顶点坐标．

                      图1                     图2                          图3

答案解析

一、单选题。（每小题4分，共40分）

1.4的算术平方根是（  B  ）

A.－2           B.2        C.16          D.

2.如图三棱柱的主视图是（  C  ）

3.根据国家统计局在2023年1月的数据显示，2022年我国科研发展经费投入达30870亿元，其中“30870亿”用科学记数法表示为（  B  ）

A.3.087×1013     B.3.087×1012      C.0.30787×1014     D.3.087×1014    4.如图，a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1=50°，则∠2的度数是（  A  ）

A.40°         B.52°         C.26°          D.34°

（第4题图）                                 （第7题图）

5.在下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（  D  ）

A.矩形         B.菱形       C.圆          D.等边三角形

6.已知a＜b，下列不等式成立的是（  C  ）

A.﹣2a＜﹣2b            B.2a－1＜2b－1        C.＜     D.a+2＞b+2

7.如图，分别旋转两个转盘，转出的两个数字之积为6的概率是（  A  ）

A.             B.            C.            D.

8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，射线BG恰好经过顶点D，下列结论不一定成立的是（  D  ）

A.AB=AD      B.∠ABO=∠CBO     C.AC⊥BD      D.BC=2CO

(第8题图)                           （第9题图）   

9．已知A、B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y（千米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（  C  ）

A.分钟          B.7分钟    C.分钟     D.8分钟

10.已知二次函数y=﹣x2+（b－1）x+b（b＞0，x＞0），分别交x轴、y轴于P、Q两点，点C的坐标是（2，1），若在线段PQ上存在A、B两点使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则b的取值范围是（  A  ）

A.1≤b＜3或b＞3        B.1≤b＜或b＞3        C.b＞3       D.b≠3

二．填空题。（每小题4分，共24分）

11.分解因式：2x2－xy=      x（2x－y）       .

12.如图小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某地方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是        ．

(第12题图)          （第15题图）           （第16题图）

13.一个多边形的每个外角的度数都是45°，则这个多边形的边数是    8     ．

14.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n＝     3    ．

15.如图，已知扇形AOB的半径OA=2，∠AOB=120°，将扇形AOB绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO’B’，则图中阴影部分的面积是     π－      ．

16.利用图形的分、合、移、补探究图形关于是我国传统数学的一种重要方法，如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，面积是88，则NQ=     4.4     ．

三、解答题。

17.（6分）计算2sin60°－++－（﹣）0.

=－+－1

=﹣

18.（6分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解.

解不等式①得，x≤2

解不等式②得，x＞﹣1

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2

x的非负整数解为x=0，1，2 

19.（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC、CD上，且CE=CF．求证：AE=AF.

解：∵菱形ABCD

∴AB=BC=CD=AD=，∠B=∠D 

∵CE=CF

∴BC－CE=DC－CF      

即BE=DF

∴△ABE≌△ADF（SAS）

∴AE=AF

20.（8分）总说：读数可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气，某学校开展读红色经典，传精神为主题的读数活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集，整理和分析，过程如下：

[数据收集]

4  4  3  3  5  5  5  7  7  7  7  6  6  6  6  6  

6  8  8  8  8  9  9  10  10  10  10  11  12  13

[数据整理]

   将收集的30个数据按A、B、C、D、E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A：3≤t＜5，B：5≤t＜7，C：7≤t＜9，D：9≤t＜11，E：11≤t＜13，其中t表示阅读时间）；

[数据分析]

（1）补全频数分布直方图：

（2）填空：m=        ；n=       .

（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为         ;

（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数.

（1）略

（2）6      7

（3）48

（4）3000×=900人

21（8分）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1：2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内，某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°，（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）

（1）求点D到地面的垂直高度DE的长；

（2）求楼AB的高度．

（1）4米

（2）17.9米

22.（8分）如图，在△ABC中，以BC为直径作O交AC于点D，且点D为AC中点，过点D作O的切线DE交BC的延长线于点E.

（1）求证：AB=BC；

（2）若AB=8，cos∠ABC=，求线段CE的长．

（1）提示证明OD是△ABC中位线，得到∠A=∠ACB，∴AB=BC

（2）6

23.（10分）某学校图书馆购进甲，乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进件比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书数量与购买450元乙图书的数量相同．

（1）求甲、乙两种图书每本的进件分别是多少元；

（2）某中学计划购进甲，乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？求出最少费用．

（1）甲图书进件是45元，乙图书的进件是30元

（2）2670元

24.（10分）如图，矩形ABCD的边BC在平面直角坐标系的x轴上，矩形对角线交于点M（2，2），过点M的反比例函数y=（x＞0）与矩形的边AD交于点E（1，a），AE=3，直线EM交x轴于点F．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）若点P为x轴上一点，当PM+PD最小时，求出点P的坐标；

（3）若点Q为平面内任意一点，若以点B、E、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

                                                                  备用图  

（1）y=       B（﹣2，0）

（2）P（，0）

（3）Q（6，4）或（0，﹣4）或（﹣4，4）

25.（12分）如图，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α，（0＜α＜360°），连接EC，取EC的中点F，连接AF,DF．

（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是        ，数量关系是        ，

（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：

小聪：过点D作MD⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N.....

小明：延长ED至点G，使DG=DE，延长CA至点H使AH=AC，连接GB、BH......

小宇：延长DF至点P，使DF=PF，连接PC，AD，AP......

请选择一种思路，完善证明过程：

(3)若AB=6，BD=2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长.

图1                       图2                         图3

（1）AF⊥DF，AF=DF；

（2）略

（3）AD=+或－

26.（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx－2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC、BC．

（1）求抛物线的解析式和顶点G的坐标；

（2）如图2，若平移抛物线y=ax2+bx－2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴交点为D，连接DG,CG，当S△CDG=时，求点M的坐标；

（3）如图3，若将抛物线y=ax2+bx－2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，请直接写出抛物线y=ax2+bx－2平移的最短距离以及抛物线的顶点坐标．

                      图1                     图2                          图3

（1）y=x2－x－2

（2）M（2，﹣6）

（3）平移的距离为

此时抛物线的顶点为（，﹣）