高考数学文化题目的命制背景及2017年新课标数学试卷的对策:2017年高考...

一、高考考试大纲数学大纲分析及意义

2017年普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议：

    建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。

    其主要意义为：

（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.

（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.

二、往年新课标高考实例解析

分析一、古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景

近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．

（1）2015年高考全国卷Ⅰ，文化题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．

（2）2015年高考全国卷Ⅱ，文化题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．

（3）2015年高考湖北卷，文化题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.

分析二：课后阅读或课后习题阿波罗尼圆为背景

从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.

三、2017年数学文化考试预测

    预测一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.

    预测二：高等数学衔接知识类题目.

微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.

    预测三：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.

必修3中：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。。

     预测四：中外一些经典的数学问题类题目.

如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等问题值得注意。

四、直击高考经典

2009年湖北理科第15题——角谷猜想

已知数列{}满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为 　4，5，32　．

考点：数列递推式。

分析：若为偶数，则为偶，故，，当仍为偶数时，能推导出；当为奇数时，能推导出；若为奇数，可得．

解答：解：（1）若为偶数，则为偶，故， 

①当仍为偶数时，故.

②当为奇数时,  ,故得．

（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数

…，所以可得．

故答案为：4，5，32．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

5、背景展现

20世纪70年代美国各大学师生夜以继日、废寝忘食、发疯般地玩弄一种数字游戏，这种游戏如此简单，任何小学生不用一分钟就能学会。 任意写出一个自然数，请按照下列法则进行变换，如果是一个奇数，则下一步变为3+1；如果是一个偶数，则下一步变成。岁月流逝，这种游戏的魅力依 然存在，因为人们发现，无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落入谷底，更准确的说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子。日本角谷静 夫统计，小于7×1011的一切自然数都已经统统实验过，没有出现过一个反例，基于角谷静夫对该问题所做出的贡献，因此该数学游戏称为角谷猜想。

冰雹猜想（又称角谷猜想）

冰雹猜想来历

1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：

70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：

如果是个奇数，则下一步变成3+1。

如果是个偶数，则下一步变成。

不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”。

强悍的27

冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过34步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！

但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外。

验证规律

经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具和（为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是……以后每隔一节，产生出一支新的支流。

自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于的强大支流——33 (=1，2，3……)，然而，27到4-2-1数列和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1-2-4-8……的这一支看作是“干流”。

等差数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的等差数列来对付无限的自然数。首项偶数，公差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是，因为都是偶数所以除于2，得到，这就是自然数。

按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了.

又称角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。