第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)

决赛试题A（初一组）

一、填空题 (每题10分, 共80分) 

1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果

,

那么在点A, B, C中, 居中的是点        .

2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 

这个立体图形的表面积为        .

3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是         km.

4.把自然数分组, 要求每组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成

        组.

5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n有        个.

6.已知, 则的值等于        .

7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且, 那么a等于        .

8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.

二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)

9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.

10.已知k 是满足的整数, 并且使二元一次方程组

有整数解. 问: 这样的整数k有多少个?

11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若, 求的可能值.

12.解方程

,

其中 [x] 表示不大于x的最大整数.

三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)

13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB

的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影

三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的. 求六边形

的面积与六边形ABCDEF的面积之比.

14.一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方, 试求所有

这样的单项式.

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A参（初一组）

一、填空 (每题10分, 共80分)

二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)

9.答案: 不能.

解答. 假设存在7个整数排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则

, , , ,

, ,.

将上述7式相加, 得

.

所以

,

与为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.

10.答案: 2.

解答. 直接解方程组,

.

当

  (其中m和n是整数)                 (1)

时方程组有整数解. 消去上面方程中的k, 得到

.                                     (2)

从(2)解得

(其中l是整数).                        (3)

将(3)代入(1)中一个方程

,.

解不等式

, ,.

因此共有2个k值使原方程有整数解.

11.答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答）

解答.  因为为质数, 所以为最简真分数, 所以

.

同理可得

.

所以

.

首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设. 因为

=,

所以p和 q可以是以下情形:

, 对应的;

, 对应的.

12.答案:.

解答. 当时, 有. 当时, 有. 由于

,

可以断言, 如果方程有正数解 x, 则. 因此,是不可能的.

另一方面,

,

可以断言, 如果方程有负数解 x, 则. 因此

, , ,.

故原方程的解为.

三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)

13.答案:.

解答. 记六边形的面积为S, 图中阴影部分的面积为S1; 记 △ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的面积之和为S2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3, 由题设条件可知

S2 =,  S1 =.

在计算S2时, 加了两次S3, 所以, 从而得

.

又

,

所以

.

故

.

14.答案:, 或8x, 或32x, 或.

解答. 设所求的单项式是,.

共有3个不为同类项的单项式, 如果, 则多项式

+

中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到.

所求的单项式为, 或8x, 或32x, 或, 再无其他解答.