有理函数之积分(部分分式法)

●部分分式法

  部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下

      (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式

        將原分式化成帶分式的形態

      (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現下面四種可能

         ①

②

③

④

      (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和

        ①所有的因式都是一次不重複的

②重複的一次因式

③所有的因式都是二次不重複的

④重複的二次因式

   例題1.  求

   Sol：

        令

       【等號兩邊同乘】       

          令代入

          令代入

        原式

提示：  公式

例題2.  求

Sol：

     【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把化成帶分式】     【利用多項式的除法與公式】    

得

      原式

     【接下來依規定將化成部分分式】

     設

【等號兩邊同乘】

   令代入

   令代入

      原式

例題3.  求

Sol：

     令

    【等號兩邊同乘】

        【比較係數後，得到下面的聯立方程式】

 提示：的積分方法(代換法)

    【提示：其實利用綜合除法也可以求(比較方便)】