北京2013大兴高三数学一模理科试题及答案

数学（理科）

一、选择题

1、复数的值是

   （A）2           （B）        （C）        （D）

2、若集合，，则

    (A)  (B)     (C)   (D) 

3、执行如图所示的程序框图．若，则输出的值是

   （A）-21          （B） 11 

   （C）43           （D） 86

4、双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于

   （A）  （B）      （C）   （D）

5、已知平面，直线，下列命题中不正确的是

  （A）若，，则∥　 （B）若∥，，则

  （C）若∥，，则∥   （D）若，，则．

6、函数

 （A）在上递增                  （B）在上递增，在上递减 

 （C）在上递减                  （D）在上递减，在上递增

7、若实数满足，则关于的方程有实数根的概率是

  （A）             （B）     （C）        （D）

8、抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是

  （A）1              （B）8     

  （C）          （D）

二、填空题

9、函数的最大值是            。

10、已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则

11、已知矩形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD的中点，

则等于        ．

12、设，则           。

13、如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F．若，，则      。

14、已知函数，定义

,，(,)．把满足（）的x的个数称为函数的“周期点”．则的周期点是       ；周期点是        ．

三、解答题

15、（本小题满分13分）

    在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，，．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求及的面积．

16、（本小题满分13分）

    期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：

（1）从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．

17、（本小题满分13分）

    如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．

 （Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；

 （Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．

18、（本小题满分14分）

    已知函数，．

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

19、（本小题满分14分）

  已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。

20、（本小题满分13分）

     已知数列的各项均为正整数，且，

设集合。

性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。

性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。

性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；

（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。

（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。

参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1、D     2、C  3、A   4、D  5、C   6、D  7、C   8、B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

 9、  ；   10、  11、      ；12、30； 13、1；  14、4，；

三、解答题（共6小题，共80分）

15、（本小题共13分）解:（Ⅰ）因为,所以

         由正弦定理:  知  得: 

   （Ⅱ）在中, 

         的面积为: 

16、（本小题共13分）解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为: 

     5名学生数学成绩的方差为: 

       5名学生物理成绩的平均分为: 

    5名学生物理成绩的方差为: 

    因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. 

（Ⅱ）由题意可知，，， 

；； 

随机变量的分布列是

17、（本题满分13分）证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。

连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。

因为平面，平面，所以平面。

（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：

，，，.

则，，设平面的法向量为。

由，得到，令，则，，所以.

又，得。

所以

设与平面所成角为，则。

所以与平面所成角的正弦值为。

18、（本题满分14分）解：（I），.

由，得，或.

①当，即时，在上，，单调递减；

②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减。

  综上所述：时，的减区间为；时，的增区间为，的减区间为。

（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；

 （2）当时，

      若，即时，在上单调递减，不存在最小值；

      若，即时，在上单调递增，在上单调递减，

因为，且当时，，所以时，。

又因为，所以当，即时，有最小值；，即时，没有最小值。

综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。

19、（本题满分14分）

解：（I）设P点坐标，则（），（），

由已知，化简得：.

所求曲线C的方程为（）。

（II）由已知直线AQ的斜率存在，

且不等于0

，设方程为，

由，消去得：

（1）.

因为，是方程（1）的两个根，

所以，得，

又，所以。

当，得，即。

又直线BQ的斜率为，方程为，当时，得，即。

直线BM的斜率为，方程为。

由，消去得：

（2）.

因为2，是方程（2）的两个根，所以

， 

得，又，即。

由上述计算：，，。

因为，，所以。

所以A、D、N三点共线。

20、(本题满分13分)

解：（Ⅰ）；                  

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；        

（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有

，即

，其中，必有，

所以仅存在唯一一组（）使成立，

即数列为阶完备数列；                                     

，对，，则，因为，则，所以，即                       

（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为

， 。  

下面用数学归纳法证明

显然时命题成立，假设当（时命题成立，即

当时，只需证

由于对称性只写出了元素正的部分，其中

既中正的部分的个元素统一为，其中

则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，

中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示

其中

中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，

所以当时命题成立。

即{}为阶完美数列，