(北师大版)初中数学八年级下册 第一章综合测试 (含答案)

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.如下图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，则的长为（    ）

A.6                    B.5                    C.4                    D.

2.如下图，在中，平分于.如果，那么等于（    ）

A.            B.                C.                D.

3.如下图，在中于点于点为边的中点，连接，则下列结论：为等边三角形；下面判断正确是（    ）

A.①正确            B.②正确            C.①②都正确        D.①②都不正确

4.如下图所示，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，则的长为（    ）

A.6                    B.5                    C.4                    D.

5.在中，既是的平分线，又是边上的中线，则的形状是（    ）

A.等腰三角形                            B.三边互不相等的直角三角形

C.等腰直角三角形                        D.不能确定

6.已知一个等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长是（    ）

A.8或10            B.8                    C.10                D.6或12

7.如下图所示，是等边三角形，且，则的度数为（    ）

A.                B.                C.                D.

8.如下图，在中，分别是上的点，且，若，则的度数为（    ）

A.                B.                C.                D.

9.下列说法：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（    ）

A.1个                B.2个                C.3个                D.4个

10.如下图，在平面直角坐标系中，，动点在上.若以三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（    ）

A.2                    B.3                    C.4                    D.5

11.如下图，中，于是的平分线，且交于点.如果，则的长为（    ）

A.3                    B.3.5                C.4                    D.4.5

12.如下图，平分垂直平分，交于为射线上一动点，若的最小值为3，则的长为（    ）

A.3                    B.6                    C.                D.9

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.腰长为，底角为的等腰三角形的面积为________.

14.等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角是________.

15.如下图，在中，垂直平分，则的长为________.

16.如下图，已知在中，.分别以为圆心，大于长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交于点.若，则的面积为________.

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

17.如下图，在中，.

（1）求证：为等边三角形；

（2）若，求的边长.

18.如下图，在中，的平分线交于点是的垂直平分线，垂足为.

（1）求度数.

（2）求的长.

19.在中，平分交于点垂直平分线段.

（1）求度数；

（2）求证：.

20.如下图，为的角平分线，于点于点，连接交于点.

（1）求证：垂直平分；

（2）若，请求出与之间的数量关系.

21.如下图，在中，，过点沿直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，连接，若，求证：是等边三角形.

22.如下图，已知在中，为高，且三等分.

（1）求的度数；

（2）求证：是边上的中线，且.

第一章综合测试

答案解析

1.【答案】D

【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答.

解：是的垂直平分线，

，

，

是的角平分线，

，

，

，

即，

，

故选：D.

2.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，

平分，

，

；

故选：C.

根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出，求出，再根据角平分线到两边的距离相等得出，即可得出的值.

此题考查了含角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出.

3.【答案】C

【解析】解：于点于点为边的中点，

，

，正确；

于点于点，

，

在中，，

点是的中点，，

，

，

，

，

是等边三角形，正确；

所以①②都正确.

故选：C.

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，又由①得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可判断②正确.

本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.

根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答.

解：是的垂直平分线，

，

，

是的角平分线，

，

，

，

即，

，

故选：D.

5.【答案】A

6.【答案】C

【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

，

不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长，

综上所述，它的周长是10.

故选：C.

分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.

本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定.

7.【答案】D

【解析】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为的性质，本题中求证是解题的关键.

易证，可得，根据可以求得的度数，即可解题.

解：在和中，

，

，

，

，

.

故选D.

8.【答案】D

【解析】解：，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

故选：D.

解题思路首先根据等腰三角形的性质得到，接下来证明，得到，然后根据三角形的外角定理求出，最后用三角形内角和定理获得答案.

本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可.

解：①有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确；

②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确；

③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确；

④有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故④错误.

故选C.

10.【答案】B

【解析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得的垂直平分线与直线的交点为点，再求出的长，以点为圆心，以的长为半径画弧，与直线的交点为点，求出点到直线的距离可知以点为圆心，以的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可.

解：如下图，的垂直平分线与直线相交于点，

，

，

以点为圆心，以的长为半径画弧，与直线的交点为，

，

点到直线的距离为，

，

以点为圆心，以的长为半径画弧，与直线没有交点，

所以，点的个数是.

故选B.

11.【答案】A

【解析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质.利用三角形外角定理得到是解题的关键，根据角的关系可得到，再通过计算得的等边三角形，则，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质来得到与的关系，可得所求.

解：

中，，

.

又是的平分线，

，

，

.

又，

，

则，

的等边三角形，则，

在直角中，，则，

，

.

故选A.

12.【答案】B

【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

作于，连接，根据角平分线的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质解答即可.

解：作于，连接，

当时，的最小，

平分，，

，

垂直平分，

，

，

，

，

，

故选B.

13.【答案】

【解析】本题考查了等腰三角形的性质；解答本题的关键，是构建出含角的直角三角形，从而通过解直角三角形求出三角形的高，进而求出其面积.要求等腰三角形的面积，已知腰长为，只要求出腰上的高即可，所以要通过构建直角三角形来解答本题.

解：如下图：

是等腰三角形，且；

过作的延长线于，

中，，

；

.

故答案为.

14.【答案】或

【解析】解：①当这个角是顶角时，底角；

②当这个角是底角时，另一个底角为，顶角为；

故答案为：或.

题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.

15.【答案】6

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.由垂直平分，即可得，又由直角三角形中角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得的长，则问题得解.

解：垂直平分，

，

，

，

.

故答案为6.

16.【答案】30

【解析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.根据垂直平分线的性质即可得到，再根据勾股定理求得的长，即可得到的面积.

解：由作图可知，垂直平分，

，

又，

，

又，

中，，

，

故答案为：30.

17.【答案】（1）证明：，

，

为等边三角形；

（2）解：，

.

，

，

，

的边长为4.

【解析】本题考查等边三角形的判定，以及含角的直角三角形的性质，掌握判定方法和性质是解题关键.

（1）根据三角形的内角和求出的度数，即可得解；

（2）先求出的度数，再根据直角三角形的性质求解即可.

18.【答案】解：（1）是的垂直平分线，

，

.

平分，

.

，

，

，

；

（2）平分，

，

，

.

【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键.

（1）由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得；

（2）根据角平分线的性质即可得到结论.

19.【答案】解：（1）垂直平分线段，

，

，

平分交于点，

，

，

，

，

，

；

（2），

，

，

.

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.

（1）据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论.

20.【答案】（1）证明：平分，，

，

，

，

即，

，

点、点在的垂直平分线上，

垂直平分；

（2）解：.

理由：，平分，

，

，

由（1）知，

，

，

，

即.

【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和，证明和题目比较典型，综合性强，属于中档题.

（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论；

（2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论.

21.【答案】证明：根据折叠的性质：，

，

，

，

，

，

是等边三角形.

【解析】本题考查了图形的翻折变换以及等边三角形的判定，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.根据折叠的性质：，根据等腰三角形三线合一得出点恰为的中点，从而得出，又，故，所以，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证得.

22.【答案】（1）解：在中，三等分，

，则，

又为高，

；

（2）证明：由（1）知，，则.

，

，

又由（1）知，，

，

是等边三角形，

，

，即点是的中点.

是边上的中线，且.

【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的.

（1）利用直角的两个锐角互余的性质进行解答；

（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到是等边三角形和为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.