小升初几何专题讲解

1、（★★）如图，已知四边形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD与AD垂直，则四边形的面积等于多少？

[思路]：显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三角形BCD的面积求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出，进

而可以判定三角形BCD的形状，然后求其面积．这样看来，BD的长度是求解本

题的关键．

解：由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD =AB－AD=13—12=25=5，所以BD=5．三角形BCD中BD=5，

BC=3，CD=4，又3十4=5，故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形，BC

与CD垂直．那么：

=+=12×5÷2+4×3÷2=36．．

即四边形ABCD的面积是36．

2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；

[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？

[思路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3

绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总

共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，

222222

222

ABCD

S

四边形ABD

S

∆BCD

S

∆

7

9

4、（★★）求下图中阴影部分的面积：

【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

5、（★★）下图中阴影部分的面积是多少厘米2？

分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如下图所示），这样计算就很容易。

本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。

6、（★★）如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L

2

-1)×单位正方形面

积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7

2

-1)×1=6.5(平方厘米)

方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，

②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．

7（★★），已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG的边长为x，有：

=1010=100,ABCD S ⨯正方形2

=x ,S 正方形CEFG 2

1110x-x =DG GF=(10-x)x=,222

DGF S ∆⨯

又1=1010=50,2

ABD S ∆⨯⨯2

110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆

阴影部分的面积为:

DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形

22

2

1010100505022

x x x x x -+=++--=(平方厘米).

方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．

有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积

1

1010502

⨯⨯=(平方厘米)． 阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米．

8、（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平

方厘米？

[方法一]：

[思 路]：整体看待面积问题。

解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1， 所以，总计9×2+7×4=18+28=46。 [方法二]：

[思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积

解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是-18=46。

[方法三]：直接数数。

[思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。

在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

解：水的体积为72×2.5=180（cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6

×6=32（cm2）的柱体，所以它的高为

180÷32=5（cm）。

10、（★★）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60

个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米. （06年三帆中学考试题）

【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），

每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）

二：提高题

11、（★★★）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一

边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14.）

[方法一]：阴影面积的“加减法”。

[思路]：因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。

解：过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形，这样

阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）—（三角形+梯形）

=（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2]

=51.75

[总结]：这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。

[方法二]：面积的“加减法”和“切割法”综合运用

[思路]：出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2。1/4圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积

解：S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5

上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5

下面阴影面积=三角形QPF-S2=

所以阴影面积=（15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）+（10×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）

=51.75

[方法三]：面积的“切割法”

[思路]：出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2。1/4圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形

解：半叶形S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5

上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5

下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5

阴影面积=（10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）+（5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）=51.75

12、（★★★）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？

[方法一]：

[思路]：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。

解: GC=7，GD=10推出HE=3；

BC=4，DE=2

阴影BCM 面积-阴影MDE 面积=(BCM 面积+空白面积)-(MDE 面积+空白面积)=三角形BHE 面积-长方形CDEH 面积=3×6÷2-3×2=3

[总 结]：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的.

[拓 展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD 的长度?

[方法二]：

[思 路]：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC 和DE 均为已知的，所以关键问题在于求

CM 和DM ．这两条线段之和CD 的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC 与DE 截成的比例线段求得． 解: GC=7，GD=10 知道CD=3；

BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。 阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3 [方法三]：连接BD

S —S =S —S =(3×4—2×3)÷2=3．

13．（★★★）如图所示，在三角形ABC 中，DC ＝3BD ，DE ＝EA 。若三角形ABC 的面积是1，则阴影部分的面积是多少？

BCM ∆DEM ∆BCD ∆BDE

∆

[思路]：阴影面积是两个不在一起的图形，我们先要通过等量代换，把两个图形拼成一个整体

解：连接FD，因为AE=DE，所以S1=S3，S2=S4，S1+S2=S3+S4，即三角形AFC=三角形FCD，阴影面积等于S3+S4的面积。

又因为DC＝3BD，三角形FDC=3×三角形BDF，这样我们就可以设三角形DFB为1份，则

三角形FDC=3份，三角形AFC=三角形FCD=3份，这样总共面积分成7份，

所以阴影面积为1÷7×3=3/7

[方法一]：

14、（★★★）如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？

[分析]连结EC，如图，因为AC＝3AD，△AED 与△AEC中AD，AC边上的高相同，所以△AEC的面积是△AED面积的3倍，即△AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC的面积且△AEC面积的四倍，所以△ABC的面积是6×4＝24（平方厘米）。

15（★★★）从一块正方形木板锯下宽为1

2

米的一个木条以后，剩下的面积是

65

18

平方米．问

锯下的木条面积是多少平方米?【分析与解】我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．

我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为1

2

，所以图(c)中心的小正方形边长为

1

2

，于是

大正方形AEHK的面积为65

18

×4+

1

2

×

1

2

=

529

36

=

23

6

×

23

6

，所以AK长为

23

6

．

即，长+宽=23

6

，已知：长-宽=

1

2

，得长=

13

6

，于是锯去部分的木条的面积为

13

6

×

1

2

=

13

12

=11

2

(平方米)．

16、（★★★）将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。

[分析] 如图，连接CD、BF，则

三角形ADC的面积＝三角形ABC的面积＝ 1；

三角形BDE的面积＝三角形BCD的面积×2 ＝ (1+1)×2 ＝ 4；

三角形CDF的面积＝三角形ADC的面积×3 ＝ 3；

三角形BCF的面积＝三角形ABC的面积×3 ＝ 3；

三角形BEF的面积＝三角形BCF的面积×2 ＝ 6；

三角形DEF的面积＝三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角形CDF的面积 +三角形BCF的面积 +三角形BEF的面积＝ 1+1+4+3+3+6 ＝ 18。

17、（★★★）如图，已知AE ＝AC/5，CD ＝BC/4，BF ＝AB/6，那么DEF ABC 三角形的面积

三角形的面积

等于

多少？

[分析]这道题与例34很相像，但不同的是没有 一个现成的单位面积。要求出这样一个比例，要

求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢？

如图，连接AD ，那么

S △CDE ＝S △ACD ×4/5＝S △ABC ×1/4×4/5＝S △ABC ×1/5

同理，连接BE ，那么

S △AEF ＝S △ABE ×5/6＝S △ABC ×1/5×5/6＝S △ABC ×1/6

连接CF ，那么

S △BDF ＝S △BCF ×3/4＝S △ABC ×1/6×3/4＝S △ABC ×1/8

所以

DEF ABC 三角形的面积

三角形的面积＝1－1/5－1/6－1/8＝61120

18、（★★★）如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 中点，F 是AC 中点。三角形ABC 由①~⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC 的面积是多少？

[分析]仔细观察图形，我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的，并且EF 是△ACD 的中

位线，也就是EF ：AD ＝1：2。那么②和⑤底和高的比都是2：1（形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是4：1了。 ②与⑤的面积比为4：1，并且相差6平方厘米，所以 ⑤的面积＝6÷（4－1）＝2（平方厘米） ②的面积＝2×4＝8（平方厘米）

③与④的面积均为⑤的二倍，②的一半，即4平方厘米； ⑥的面积为④＋⑤，即4＋2＝6（平方厘米）

①的面积为②＋③＋④＋⑤＋⑥，即8＋4＋4＋2＋6＝24（平方厘米） 大三角形的面积为①的二倍，即 24×2＝48（平方厘米）。

19、（★★★）在ΔABC 中BD ：DC=2:1,AE ：EC=1:3 求BO ：OE 。

[分析]:解法一，用按比例分配的方法，观察线段BE 正好被AD 分成BO 与OE 两部分，求这两部

分的比，可以AD 为底，B ，E 为顶点构造两个三角形，BAD 与EAD ，这样就可以面积比与线段比之间架一座桥。因为三角形BAD 的三个顶点都在三角形ABC 的边上，因此把三角形ABC 的面积看作单位“1”，就可以用

3

2

来表示ABD 的面积，用AE 的长占AC 的1/4，CD 的长占CB 的1/3，

3141 =12

1

来表示AED 的面积。 因为：S ΔABD ：S ΔAED=

32：12

1=8：1，所以BO ：OE=8：1。 解法二：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC ，因为AE:EC=1:3 (条件) 所以S ΔAOE/S ΔCOE=1:3 若设S ΔAOE=x,则S ΔCOE=3x S ΔAOC=4x,根据燕尾定理 S ΔAOB ：S ΔAOC=BD ：DC=2:1 所以S ΔAOB=8x BO ：OE=S ΔAOB ：S ΔAOE=8x ：x=8:1。

20、（★★★）角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积是多少？

O

A

B

D

C

E

[分析]:可以连接NB，由燕尾定理及条件可知CAN：ABN＝2：1，不妨设ANM为1份，则ANB为两

1

份，CAN就是4份，CND也是4份，全图就是10份，阴影就占全图的

10

21（★★★）在图中，直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？

[分析]:连结AC，因为AB平得CD，AE是三角形ADE，ACE的公共底边，所以三角形ADE与三角形ACE的面积相等。又因为BC平行于AF，AF是三角形AFC与三角形ABF的公共底边，所以三角形ACF与三角形ABF的面积相等。从图中还可看出，三角形ACF的面积＝三角形ACE的面积+三角形AEF的面积，三角形ABF的面积＝三角形BEF的面积+三角形AEF 的面积。从上面两个等式可以得到三角形ACE的面积＝三角形BEF的面积，而三角形BEF 的面积为6平方厘米，所以三角形ACE的面积也为6平方厘米，再根据三角形ADE与三角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积为6平方厘米。所以三角形ADE的面积为6平方厘米。

22、（★★★）图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

[分析]:我们不妨把四个小三角形看成四个元素，而不是整体的一部分。

如图，四个小三角形面积中，两个是我们已知的，另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边，所以它们的高之比就等于面积比6：7；

S1与S2同样有共同的底边，并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同，也就是同样有6：7的关系。这样S1：S2＝6：7； 这样，原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道 S1＝(52－6－7)÷(6＋7)×6＝18（公顷） S2＝(52－6－7)÷(6＋7)×7＝21（公顷）

这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21，最大的一个为21。

23、（★★★）如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=

1

3

AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （06年清华附中入学测试题）

【解】根据定理：ABC BED ∆∆=3211⨯⨯=6

1

，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35

÷5×6=42。

24、（★★★）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.

（06年实验中学入学

测试题）

【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，

所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。

25、（★★★）如图在长方形ABCD 中，△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等。△AEF 的面积是长方形ABCD 面积的______ (填几分之几)。 （03年资源杯试题）

。

【解】连接AC ，首先△ABC 和△ADC 的面积相等，又△ABE 和△ADF 的面积相等，则△AEC 和△AFC 的面积也相等且等于ABCD 的1/6，不难得△AEC 与△ABE 的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC 与BE 之比为1/2，同理FC 与DF 之比也为1/2。从而△ECF 相当于ABCD 面积的1/18，而四边形AECF 相当于ABCD 面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。

A

F

E

D

C

B

26、（★★★）如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____

（01年同方杯） 【解】设图示两个三角形的面积分别为a 和b ，因为△AED 面积等于ABCD 的一半，则△ABE 加上△DEC 的面积也等于ABCD 的一半。而△FDC 的面积也等于ABCD 的一半，即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积，可见阴影面积=23+32+12=67。

A

E

D

C

B

a

b

23

32

12

F

27、（★★★）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是 平方厘米．

【解】：四边形AFDC 的面积=三角形AFD+三角形ADC=（

21×FD ×AF ）+（2

1

×AC ×CD ）=21（FE+ED ）×AF+

21（AB+BC ）×CD= （21×FE ×AF+21×ED ×AF ）+

（21×AB ×CD+2

1

×BC ×CD ）。

所以阴影面积=四边形AFDC-三角形AFE —三角形BCD=（21×FE ×AF+21×ED ×AF ）+（2

1

×AB ×CD+21×BC ×CD ）-21×FE ×AF-21×BC ×CD=21×ED ×AF+21×AB ×CD=21×8×7+2

1

×3×

12=28+18=46。

28、（★★★）如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和B 是两个正方形重叠部分，C ，D ，E 是空出的部分，这些部分都是长方形，其中4个的面积比是A:B:C:D ＝1:2:3:4。那么这个长方形的长与宽之比是多少？

：

[方 法]：

29．（★★★）如图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的5/12，②号正方形的边长是长方形宽的1/8。那么，图中阴影部分的面积是多少？

[方法一]：从整除入手，我们可以推出长方形的面积只能是8×12=96，再入手就很简单可。 解：①的面积就是5×5=25 ②的面积是1×1=1

最大的空白正方形面积=（8-1）×（8-1）=49

阴影面积=96-49-25-1=21

30、（★★★）图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．

设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF

S ∆=⨯⨯=即100

3

x =

，那么正方形内空白部分的面积为40043x =

. 所以原题中阴影部分面积为400800202033

⨯-= (平方厘米)． 【挑战题】

1、（★★★★）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？

（05年101中学入学测试题）

【解】如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母

南

西

北

东

B

C

A

F D

G E

20

10

16

x y B

A C D F E

那么有⎩⎨⎧=+=+10:20:)16(16:20:)10(x y y x ，即有⎩⎨⎧+=+=y x x y 1624405，解得⎩

⎨⎧==2420y x ．

所以修剪北部草坪需要20+24＝44分钟． 评注：在本题中使用到了比例关系，即： S △ABG ：S △AGC ＝S △AGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；

2、（★★★★）如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米。

解：

[方法一]：通过比列求解

解：延长EB 到K ，使BK=CD 。 三角形EGK 与三角形DGC 成比例，DC ：EK=2：3，所以DG ：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以EGK=90÷3/5=54，所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理，EB ：DC=1：2，所以BH ：HC=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四边形BGHF 的面积是24-10=14

[方法二]：份数

解：120÷5=24(平方厘米) 可将该正方形的面积平均分成5份,每份为24(平方厘米) 120÷4=30(平方厘米) 是S △EBC=30(平方厘米) ，所以 S △HFC=30-24=6(平方厘米)

在△EBG 和△CDG 中 EB:CD=1:2 (底的比) ;高的比也是1:2 所以 S △EBG:S △CDG=1:4

设正方形的边长为"1" ， 所以 S △CDG=1×(2/3)÷2=1/3

而正方形的面积为"1" 是120平方厘米， 所以 S △CDG=120×(1/3)=40(平方厘米) S △DBC=120÷2=60(平方厘米)

S 四边形BGHF=S △DBC-S △DCG- S △HFC

=60--40-6 =20-6