第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题(初一、初二组)

决赛试题（初一组）

（时间：2016年3月12日 10:00--11:30）

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．已知n个数x1，x2，……xn，每个数只能取0,1，-1中的一个，若x1＋x2＋…＋xn＝2016，则x12015＋x22015＋…＋xn2015的值为__________。

2．某停车场白天和夜晚两个不同时段的停车费用的单价不同，张明2月份白天的停车时间比夜间要多40%，3月份白天的停车时间比夜间要少40%。若3月份的总停车时间比2月份多20%，但停车费用却少了20%，那么该停车场白天时段与夜间时段停车费用的单价之比是__________。

3．在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点，如右图。

三角形ABC的三个顶点都是格点，若一个格点P使得三角形

PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”。那么，

在这张格子纸上共有__________个“好点”。

4．设正整数x，y满足xy―9x―9y＝20，则x2＋y2＝________。

5．甲、乙两队修建一条水渠，甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，两队所用的天数为A；甲先完成工程的三分之二，乙后完工程的三分之一，两队所用天数为B；甲、乙两队同时工作完成的天数为C。已知A比B多5，A是C的2倍多4，那么甲单独完成此项工程需要__________天。

6．已知x＋y＋z＝5，＋＋＝5，xyz＝1，则x2＋y2＋z2＝__________。

7．关于x，y的方程组：

只有唯一的一组解，那么a的取值为__________。

8．右图是一个骰子的展开图，每个面是一个单位正方形，用

四个骰子粘成一个2×2×1的长方体放到桌面上，要求每

两个粘在一起的面上的“点数”相同。长方体放到桌面上

的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面，两个

长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同，不考虑长方体的旋转，共可以粘出__________种不同的长方体。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．在恰有三条边相等的四边形中，有两条等长的边所夹的内角为直角。若从该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形，求该直角所对的角的度数。

10．围着一张可以转动的圆桌，均匀地放着8把椅子，在桌子上对着椅子放有8个人的名片。这8个人入座后，将圆桌顺时针转动，第一次转45°，从第二次开始，每次转动比上一次多转45°。每转动一次，当某人对着自己的名片时，取走自己的名片，如果入座时谁都没有对着自己的名片，那么桌子至少转多少度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片？

11．两张8×12的长方形纸片重叠地放置，有一个顶点重

合，尺寸如右图所示，问图中阴影部分的面积是多少？

12．证明：对任何非零自然数N，N3+N2+N－1都是整数，并且用3除余2。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．如右图，ABCD是正方形，F是其两条对角线的交点，

E在BC边上，BE：EC＝1:2，DE与对角线AC的交点为

G，三角形DFG的面积等于2。求正方形ABCD的面积。

14．排成一行的学生，从左到右1至3报数，最后一个人报2。从右到左1至M报数，最后一个人报1。这里M与3互质。现凡报过1的学生出列，其余原地不动，共留下62名，其中只有21对学生原来相邻。问原来有多少名学生？M的值是多少？

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试卷（初二组）

（时间：2016年3月12日10：00—11:30）

一、填空题（每小题10分，共80分）

1、设a、b是不小于3的实数，则的最小值是________。

2、用[x]表示不超过x的最大整数，设 

那么等于___________。

3、如右图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD垂直BC于

点D，BE垂直AC于点E，AD与BE交于点P，BP＝3，

PE＝1,那么三角形BDP的面积是__________。

4、某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同，张明2月份白天的停车时间比夜间要多40%，3月份白天的停车时间比夜间要少40%。若3月份的总停车时间比2月份多20%，但停车费用却少了20%，那么该停车场白天时段与夜间时段停车费用的单价之比是__________。

5、将一个三位数的十位和百位上的数字交换后得到一个新数，新数与原数之和再加上60后刚好是一个完全立方数，那么原数的三个数字之和的最大值是__________。

6、在方程＋＋＋＝x2―5x―4的实数解中，最大的是__________。

7、当x、y为整数时，多项式6x2―2xy2―4y―8的最小正值是__________。

8、右图是4×3的长方形网格，由相同的小正方形构成，将其中

8个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，

经旋转后，两种涂色的网格相同视为相同的涂法，那么有

__________种不同类型的涂色方式。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9、化简

10、如右图，在△ABC的边BC上取点F，使得线段AF交

中线BD于点E，且AE＝BC。证明：BF＝FE。

11、已知整系数多项式x3＋ax2＋bx＋c，当x＝a，x＝b时，它的值分别为a3、b3，并且a、b、c为互不相等的非零整数，试求a＋b＋c的值。

12、如右图，边长为3的正方形均分成3×3的方格，每个方格的

顶点叫做格点，以格点为圆心，半径为1画圆，至少要画多少个圆

才能盖住这个正方形？

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13、如右图，在正方形ABCD中，F和E分别在边AD和

边DC上移动，且∠FOE＝90°，∠CAG＝∠OBH＝∠CAB，

如果EF≥，求GH＋OH的最小值。

14、

答案：