相似形知识点

1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形

2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

3. 比例的项：已知四条线段a、b、c、d，如果a∶b＝c∶d，那么a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做比例的外项，线段b、c叫做比例的内项，线段d叫做a、b、c的比例第四比例项

比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a∶b＝b∶c，即，那么线段b叫做线段a和c的比例中项。

4. 比例的性质

（1）比例的基本性质:， a∶b＝b∶cb2=ac

此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.

（2）合、分比性质: 

注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.

如:已知

证明:∵  ∴  ∴  ∴

（3）等比性质:若则.

（4）比例中项:若的比例中项.

5. 如果点C在线段AB上，分AB为两部分AC与BC，AC＞BC，且=,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

   长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。

6．相似三角形：

三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/

相似比：相似三角形的比叫相似比，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是k，相似比是有顺序的。

7. 平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.   

已知l1∥l2∥l3,        

                                                 A       D    l1

                                                B         E    l2

                                               C            F     l3

    可得等.

（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.                                               A

                                               D        E

                                            B              C

    由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.                              A

D      E

B              C

说明: ①此定理和平行线分线段成比例定理的异同

相同点:都是平行线；

不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD与AE,DB与EC,AB与AC这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即，只要有图形中的,它一定是△ADE的三边与△ABC的三边对应成比例. 

②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

8．（一）相似三角形的识别方法： 

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)

   ∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED

(3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

(5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

（二）相似三角形的识别方法的选择：

(1)已知有一个角相等时，可选择方法（4）和方法（5）；

(2)已知有两条边对应成比例时，可选择方法（3）和方法（4）；

(3)若有平行条件时，可考虑方法（2）；

(4)有直角三角形时，可考虑方法（6）。

9. 相似三角形的性质  

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形中对应边上的高的比、对应中线的比，对应角的角平分线的比都等于相似比．

(3)相似三角形的周长的比等于相似比．

以上各条可以概括为：相似三角形的对应量之比等于相似比．

(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方．

10．相似三角形性质的作用

   使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：

  (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；

  (2)可用来计算周长、边长、角度等；

  (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。

注意：

(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．       

(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S＝底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。

11． 直角三角形中的比例线段是一个重要的内容．如图，

由Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，得 AC2＝AD·AB，BC2=BD·AB， CD2=AD·DB．

熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．

12. 相似多边形及性质

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

　　相似多边形性质：相似多边形周长比等于相似比；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

13．位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），这样的相似变换叫做位似变换，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。如图（1）（2）是位似图形，但图（3）不是位似图形。

   （1）                （2）                 （3）

位似图形性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。 

位似的作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小。

位似中心的落点：位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：

（1）位似中心在图形的一侧；（2）两个图形分居在位似中心的两侧；（3）位似中心在两个图形的内部。

总结：（1）位似图形一定是相似形；（2）两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫位似图形；（3）位似图形即相似形的相似比；（4）位似图形具有相似多边形的性质；（5）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比；（6）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。