(完整版)小学奥数行程问题分类讨论

小学奥数行程问题分类讨论

　　行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。

　　一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现，约占80%左右。建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准画图(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并

　　(1)

　　(2)

以不赘述

　　第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×(2n-1)

　　第m次追及时间：Tm= t单程追及×(2m-1)

　　限定时间内的相遇次数：N相遇次数=[ (Tn+ t单程相遇)/2 t单程相遇]

　　限定时间内的追及次数：M追及次数=[ (Tm+ t单程追及)/2 t单程追及]

　　注：[]是取整符号

　　之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注意，不要把运动方

向搞错了。

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　　简单例题：甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，问(1)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离中点多少千米?(3)50小时内，甲乙两车共迎面相遇多少次?

　　三、火车问题。特点无非是涉及到车长，相对容易。小题型分为：

　　(1)火车vs点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s火车=(v火车 ±v人)×t经过

　　(2)火车vs线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s火车+s桥=v火车×t经过和s火车1+s 火车2=(v火车1

　　±v火车2)×t经过

　　(3)

　　顺水船速=

船速=(

　　(1)

　　(2)

入水中，

货船相遇。求水流速度。

　　五、间隔发车问题。空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。

　　(1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一

般人儿来说不容易。

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　　例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B 两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车?

　　(2)在班车外。联立3个基本公式好使。

　　汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1

　　汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔------2

　　汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------3

　　1、2合并理解，即

9

s=v×t

　　真实相遇”、

位置可能

　　(1)半”天共重合11次，成直线共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。

　　(2)基本解题思路：路程差思路。即

　　格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)

　　格：x=x/12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格)

　　角：6x=x/2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度)欢迎阅读

　　可以解决大部分时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角度。

　　例题：在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经过多少分钟，时针

和分针第一次垂直?

　　(3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了，有相应的比例公式。这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题型，有难度。

　　九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式s扶梯级数=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解决

最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是t上或下要表示成实际走的级数/人的速

(来回不同)

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

、班

复杂，只能临考时抱佛脚还管点儿用。孩子有兴趣推导一下倒可以，不要死记硬背。

　　简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行速度都是每小时4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千

米?

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　　十二、保证往返类。简单例题：A 、B 两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水。如果不准将部分食物存放于途中，其中一个人最远可深入沙漠多少千米(要求两人返回出发点)?这类问题其实属于智能应用题类。建议推导后记忆结论，以便考试快速作答。每人可以带够t 天的食物，最远可以走的时间T 　　(1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来)　　1、两人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t 。　　2、多人：没搞明白，建议高手补充。

　　(2)穿沙漠类(保证一个人穿过沙漠不回来了，其他人都要活着回来)共有n 人(包括穿沙漠者)要正确的解答有关"行程问题"的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向(相向，相背，同向)，

出发的时间(同时，不同时)，出发的地点(同地，不同地)，运动的路线(封闭，不封闭)，运动的结果(相遇、相距

多少、交错而过、追及)。

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两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体"相向运动"或"相背运动"时，此时的

运动速度都是"两个物体运动速度的和"(简称速度和)，当两个物体"同向运动"时，此时两个物体的追击的速度就变为了"两个物体运动速度的差"(简称速度差)。

当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑;船在河中顺水而下和逆水而

上。此时人在顺风跑是运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。水速，是指水在单位时间里流

过的路程。顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程(请注意单位名称统一)。根据加减法互为逆运算的关系，由公式(1)可以得到:水速=顺水速度-船速，由公式(2)可以得到:水速=船速-逆水速度;船速=逆水速度+水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的

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任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式(1)和公式(2)，相加和相减就可以得到:船速=(顺水速度+逆水速度)÷2，水速=(顺水速度-逆水速度)÷2。时间*速度=时间

折叠火车过桥

(桥长+车长)÷速度=时间

20×2=40(千米)

40÷(4×2)=5(小时)

28×5=140 (千米)。

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综合式:(28-4×2)×2÷(4×2)×28

折叠环形上的相遇问题

例:甲、乙二人同时从起点出发，在环形跑道上跑步，甲的速度是每秒跑4米，乙的速度是每秒跑4.8米，

甲跑__________圈后，乙可超过甲一圈。

迎面驶来,假设小敏步行速度一定,30路车总站发生间隔时间一定,问30路公交车每隔多久发一班车?

分析:解:设30路公交车速度为X ，小敏行速为Y ，30路公交车每隔Z 分钟发一班车，则追距=X*Z ，由已

知得下方程组:

X*Z/(X-Y)=6

X*Z/(X+Y)=2

解上方程组，得

Y=X/2

X*Z=6*(X-Y)=6*(X-X/2)=3X

Z=3

几圈?

分析:

甲第一次追上乙后，追及距离是环形跑道的周长300米。

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第一次追上后，两人又可以看作是同时同地起跑，因此第二次追及的问题，就转化为类似于求解第一次追及的问题。

甲第一次追上乙的时间是:300÷2=150(秒)

甲第一次追上乙跑了:6×150=900(米)

说明甲在每个全程中行500/2=250米。

(3)因此在第一次相遇时(一个全程)

250+400=650米

答:两地相距650米。

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折叠过桥问题

例:某人步行的速度为每秒钟2米，一列火车从后面开来，越过他用了10秒钟，已知火车的长为90米，求列车的速度。

分析:火车越过人时，车比人多行驶的路程是车长90米，追及时间是10秒，所以速度差是90÷10=9米/秒，因此车速是2+9=11米/秒。