2020年浙江省杭州市中考数学试卷及答案

一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（　　）

A． B． C． D．3

2．（3分）（1+y）（1﹣y）＝（　　）

A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2

3．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

5．（3分）若a＞b，则（　　）

A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1

6．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

7．（3分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（　　）

A．y＞z＞x B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．z＞y＞x

8．（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）

A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0

C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0

9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）

A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0

C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0

二、填空题：本大题有6个小题,每小題4分,共24分

11．（4分）若分式的值等于1，则x＝　   　．

12．（4分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　   　．

13．（4分）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　   　．

14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC，则tan∠BOC＝　   　．

15．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　   　．

16．（4分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　   　，BE＝　   　．

三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）以下是圆圆解方程1的解答过程．

解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

18．（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）．

（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．

（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．

（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．

（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．

（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

23．（12分）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

2020年浙江省杭州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（　　）

A． B． C． D．3

【解答】解：，

故选：B．

2．（3分）（1+y）（1﹣y）＝（　　）

A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2

【解答】解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．

故选：C．

3．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

【解答】解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．

则需要付费19元．

故选：B．

4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，

∴sinB，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；

tanB，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．

故选：B．

5．（3分）若a＞b，则（　　）

A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1

【解答】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；

B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；

C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；

D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．

故选：C．

6．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），

∴2＝a+a，解得a＝1，

∴y＝x+1，

∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），

故选：A．

7．（3分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（　　）

A．y＞z＞x B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．z＞y＞x

【解答】解：由题意可得，

y＞z＞x，

故选：A．

8．（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）

A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0

C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0

【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，

∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，

整理得：a（9﹣2h）＝1，

若h＝4，则a＝1，故A错误；

若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；

若h＝6，则a，故C正确；

若h＝7，则a，故D错误；

故选：C．

9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°

【解答】解：∵OA⊥BC，

∴∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，

∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，

∵∠AOD+∠COD＝90°，

∴β+180°﹣2α＝90°，

∴2α﹣β＝90°，

故选：D．

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）

A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0

C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0

【解答】解：选项B正确．

理由：∵M1＝1，M2＝0，

∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，

∵a，b，c是正实数，

∴a＝2，

∵b2＝ac，

∴cb2，

对于y3＝x2+cx+4，

则有△＝c2﹣16b2﹣16（b2﹣）＜0，

∴M3＝0，

∴选项B正确，

故选：B．

二、填空题：本大题有6个小题,每小題4分,共24分

11．（4分）若分式的值等于1，则x＝　0　．

【解答】解：由分式的值等于1，得

1，

解得x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故答案为：0．

12．（4分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　20°　．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝130°，

∴∠ABF＝50°，

∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，

∴∠A＝20°．

故答案为：20°．

13．（4分）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　　．

【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，

两式相减得4xy＝﹣3，

解得xy，

则P．

故答案为：．

14．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC，则tan∠BOC＝　　．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，

∴AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵sin∠BAC，

∴设BC＝x，AC＝3x，

∴AB2x，

∴OBABx，

∴tan∠BOC，

故答案为：．

15．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　　．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，

则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．

故答案为：．

16．（4分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　2　，BE＝　1　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，

∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，

∴CF＝AD，∠CFD＝90°，

∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，

∴∠ADF＝∠DCF，

∴△ADE≌△FCD（ASA），

∴DF＝AE＝2；

∵∠AFE＝∠CFD＝90°，

∴∠AFE＝∠DAE＝90°，

∵∠AEF＝∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴，

∴，

∴EF1（负值舍去），

∴BE＝EF1，

故答案为：2，1．

三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）以下是圆圆解方程1的解答过程．

解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

18．（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

【解答】解：（1）（132+160+200）÷（8+132+160+200）×100%＝98.4%，

答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；

（2）估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，

理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000×2%＝100，

4月份生产的产品中，不合格的件数为10000×（1﹣98.4%）＝160，

∵100＜160，

∴估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．

19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，

∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC；

（2）解：①∵EF∥AB，

∴，

∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，

∴，

解得：BE＝4；

②∵，

∴，

∵EF∥AB，

∴△EFC∽△BAC，

∴（）2＝（）2，

∴S△ABCS△EFC20＝45．

20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）．

（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．

（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，

∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y1最大值为，①；

当x＝2时，y2最小值为a﹣4，②；

由①，②得：a＝2，k＝4；

（2）圆圆的说法不正确，

理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，

则m0＜0，m0+1＞0，

∴当x＝m0时，p＝y1，

当x＝m0+1时，q＝y10，

∴p＜0＜q，

∴圆圆的说法不正确．

21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，

∴BE＝EC＝1，

∴AE，

∴EF，

∴CF＝EF﹣EC1；

（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

，

∴△ADG≌△FCG（AAS），

∴DG＝CG，

即点G为CD的中点；

②设CD＝2a，则CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴，

∴，

∴ECa，BE＝BC﹣EC＝2aaa，

∴λ．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．

（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．

（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．

（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

【解答】解：（1）由题意，得到3，解得b＝﹣6，

∵函数y1的图象经过（a，﹣6），

∴a2﹣6a+a＝﹣6，

解得a＝2或3，

∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．

（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，

∴r2+br+a＝0，

∴10，

即a（）2+b•1＝0，

∴是方程ax2+bx+1的根，

即函数y2的图象经过点（，0）．

（3）由题意a＞0，∴m，n，

∵m+n＝0，

∴0，

∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，

∵a+1＞0，

∴4a﹣b2＝0，

∴m＝n＝0．

23．（12分）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

【解答】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，

∴∠AOE＝60°，OEOA，AE＝EBOE，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∵OF＝FC，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∵AE＝EB，

∴EFAB．

（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．

∵∠FGA＝∠ABC＝90°，

∴FG∥BC，

∴△OFH∽△OCB，

∴，同理，

∴FH＝OE，

∵OE⊥AB．FH⊥AB，

∴OE∥FH，

∴四边形OEHF是平行四边形，

∴PE＝PF．

②∵OE∥FG∥BC，

∴1，

∴EG＝GB，

∴EF＝FB，

∵DF＝EF，

∴DF＝BF，

∵DO＝OB，

∴FO⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°．