多元表征,完善认知——以“乘法分配律”教学为例

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多元表征，完善认知

——以“乘法分配律”教学为例

□沈勤

【摘要】乘法分配律是教学难点之一，为了突破这个教学难点，需了解学生在运用乘法

分配律中存在的“共性错误”，有针对性地对“乘法分配律”一课进行经验改造。教师可借助

图文，通过经历发现、经验唤醒、迁移引申、拓展应用等多元表征，完善学生对乘法分配律的

理解和运用。

【关键词】乘法分配律；对策；教学

学生在运用乘法分配律的过程中总是错误百出，笔者对六年级某班46名学生在总复习时用乘

法分配律计算中出现的问题进行了统计（排除纯粹计算错误的情况），具体情况见表1。

表1学生运用乘法分配律错误情况统计典型题目①2.5×（0.4×8）②(313+117)×13×17错误运用及非合理方法（2.5×0.4）×（2.5×8）(51221+13221)×13×17

313×13+117×17人数9624占％19.5713.0452.17③724÷(712+78)④计算面积：7

24×127+724×87无从下手

面积周长混淆（9＋19）×2121×9＋19×9＝1＋171＝360（平方米）19343041.30

6.52

8.7065.22续表统计发现：六年级学生对于乘法分配律的理解与运用能力总体水平不高。

表1中第1题的错误说明由于结合律与分配律

师：是的，把6×9看成（5+1）×9，然后运用乘法分配律。师：再比如乘法计算，我们刚刚学过的两位数乘两位数的竖式。14×12就是等于14×2加上14×10，即14×12＝14×（2+10）＝14×2+14×10。竖式计算14×12，就是把12看作（10+2），再应用乘法分配律进行计算。你看，列竖式的算法就来源于乘法分配律。师：你还能想到已经学过的和乘法分配律有关的知识吗？生：在长方形和正方形的周长计算中也用到了。……师：是的，长方形周长计算的两种方法正是对于乘法分配律的应用。

总之，教师要寻找与运算定律相关的素材，可以以图形为载体，注重数形结合，提供变式练习，度促进学生对乘法分配律意义的理解，从而帮助

学生理解并灵活应用运算定律。

参考文献：

[1]俞军.借助几何直观促进有效建模——以“乘法分配律”一课为例[J].小学数学教师，2015（6）.[2]王文英.结构入手认识规律——从“乘法分配律”的教学谈起[J].小学数学教师，2014（3）.

（浙江省诸暨市实验小学教育集团荷花小学

311800）

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在形式上相似，部分学生对两者的结构特征认识不到位，容易形成知觉上的错误，混淆了两者的区别。表1中的第4题，学生关注更多的是“怎样求面积”，而缺少对算式中数据特征的观察，很多学生按“先分别乘，再求和”的运算顺序进行复杂计算。表1中第2题、第3题的错误表明，学生对乘法运算律的理解存在形与意的脱节，只停留在表面、形式上。怎样才能让学生真正从模仿走向理解？笔者通过多元策略对人教版四年级下册“乘法分配律”一课进行教学，加强了学生对乘法分配律的理解和运用。一、图文结合，使结构特征可视教材主题图呈现了这样的信息：“一共有25个小组，每组4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？”在用两种方法解决的基础上抽取出等式“（4＋2）×25

＝4×25＋2×25”。这样的单一情境，单一形式，难

以让学生发现乘法分配律的结构特征。笔者设计

了“图文结合”的情境，有助于学生运用多元可视化表征理解乘法分配律的结构特征。结合图形，学生发现每一个问题都有两种解题思路，分别是面积：36×15+24×15或(36+24)×15；周长：60×2+15×2或(60+15)×2，一种方法是“先求和，再相乘”，另一种方法是“先分别乘，再求和”，将学生的视线引向对结构的观察。学生对乘法分配律结构特征的感悟需要更多的学习材料“造势”。教师可引导学生举例，

用相同结构算式解决实际问题，根据学生的举例利用“式”与“图”相结合的形式帮助学生理解，从而巩固对两

种结构的认识。

学生对这两种结构充分认识后，教师可让学生用方框分别表示出两种算式的结构特征，得出：

()□+□×○和□×○+□×○，建立乘法分配律的结构模型。

二、经历发现，使数据特征凸显

计算要根据算式和数据的特点，灵活处理运算顺序，这一环节设计了探究化的“经历发现”活动。学生在清晰结构特征的基础上进行探究、验证，教师巧妙地引导学生对数据特征展开探究（见下图），

有利于学生对乘法分配律的理解与掌握。学生通过研究发现只有具备这样的结构特征，同时又具备这样的数据

特征，两个算式才是相

等的。让学生根据发现

的规律，用算式或字母

表示出来（见右图），引

导学生经历不完全归纳法概括运算定律的过程。

在学习乘法分配律时还要重视简便计算意识

的渗透。教学中，教师要对两种解题思路进行比较，如36×15+24×15与（36+24）×15，让学生去辨别

哪一个算式计算比较简便，渗透凑整可使计算简便的思想。

三、经验唤醒，使定律意义明晰

如果我们的教学就到抽象出运算定律这一步，学生往往会将形式与意义割裂。因此，在学生探索规律后，教师可追问：这样的现象是巧合还是客观存在的？

（一）从“单一”走向“丰富”

让学生从笔算乘法的算理中，理解定律

的

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运用。

你能在下图中找到乘法分配律吗？人教版三上《两位数乘一位数口算》人教版三下《两位数乘两位数笔算》教师通过让学生在“口算12×3”“笔算14×12”中寻找应用乘法分配律的过程，引导学生解释这样计算的合理性。再引导学生借助几何直观，进一步体会到发现的定律是客观现实规律。学生根据原有的学习经验，经过辨析对比，丰富对乘法分配律的理解。（二）从“形”

走向“意”学生只建立乘法分配律结构的图式

（□+□）×○=□×○+□×○是不够的，还需要真正理解这个结构的意义。因此可以设计这样一个问题：你能解释为什么“7×5+3×5=（7+3）×5”吗？引导学生从乘法意义的角度解释乘法分配律的结构，使学生在交流互动的过程中完善对乘法分配律的认知，从“形”走向“意”，达到形意合一。（三）从“浅显”走向“深层”通过辨别让学生进一步明晰乘法分配律的意义。教学中，可设计这样一个判断练习：

对学生出现的典型错误，教师要引导其进行深入讨论，使其对乘法分配律含义的理解从浅显走向深层。四、迁移引申，使定律应用拓展乘法分配律有许多的变式应用，教师要帮助学生找到这些应用与基本结构的联系，培养学生由此

及彼的推理能力。

从两个数的和与一个数相乘迁移引申到两个数的差与一个数相乘。

鉴定有没有乘法对乘法的分配。为了更好地理解乘法分配律，有必要让学生对

原有的运算定律进行沟通与比较。乘法结合律和乘法分配律非常相似，学生容易混淆，是学生学习中的易错点，通过对比鉴定，帮助学生感知两者结构的不同。

从两数之和（差）与一个数相乘拓展到三个数、四个数……之和（差）与一个数相乘。

让学生通过对实例的观察分析，归纳概括出乘

法分配律的一般运算规律，提升学生的学习能力。

参考文献：

[1]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教

育出版社，2011．

[2]俞军.借助几何直观促进有效建模——以

“乘法分配律”一课为例[J].小学数学教师，2015（6）．（浙江省平湖市乍浦天妃小学314201）68