复变函数与积分变换

课程教学大纲

【课程编号】： 16119147

【英文译名】： Complex Variable Therory & Integral Translations

【适用专业】：电子信息工程

【学 分 数】：3.0

【总 学 时】：48

【实践学时】： 0

一、本课程教学目的和课程性质

课程性质:专业基础课

课程目的:介绍复变函数理论的基本知识和内容,使学生对复变函数理论的基本内容有一个初步的了解,为进一步学习和研究以及后继课程打下坚实基础.

课程任务:

    1.讲述复变函数理论的解析函数论;

    2.简单讲述复变函数理论的积分学;

    3.简单讲述复变函数理论的级数理论;

    4.讲述复变函数理论的留数理论;

    5.讲述傅里叶变换理论与应用

    6.讲述拉普拉斯变换理论与应用

二、本课程的基本要求

     1.进一步熟悉中学阶段有关复数用其运算的知识；

     2.熟悉掌握有关平面点集的概念以及定义在复平面上的函数概念和函数极限，函数连续概念及性质；

     3.深刻理解解析函数的概念及其特性；

     4.掌握判断函数可微与解析的充要条件；

     5.研究初等单值解析函数及其与相应的实变初等函数之间的异同；

     6.掌握如下重要定理和公式：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的n 阶导数公式等以及熟练应用这些定理与公式计算一些常见的复积分；

       7.掌握复数序列的极限理论、复数项级数理论和幂级数的理论；

       8.熟练地用各种方法将一些函数展开为泰勒级数；

       9.能用洛朗定理将某些函数在圆环内熟练地展开成洛朗级数；

       10.能深刻理解和掌握孤立点奇点的三种分类法和相应的三类奇点的性质定理；

       11.深刻理解留数概念与留数定理；

       12.能熟练地应用留数定理计算常见的复积分，了解它在某些实函数的积分中的应用；

       13理解傅里叶变换和逆变换的定义以及常见的函数的傅里叶变换；

       14.理解傅里叶变换的性质；

       15.熟练掌握应用傅里叶变换的性质求信号的傅里叶变换与逆变换；

       16.理解拉普拉斯变换和逆变换的定义以及常见的函数的拉普拉斯变换；

       17.理解拉普拉斯变换的性质；

       18.熟练掌握应用拉普拉斯变换的性质求信号函数的拉普拉斯变换；

       19.熟练掌握求拉普拉斯逆变换的方法。

三、本课程与其他课程的关系

前修高等数学

四、课程内容

第一章  复数与复变函数 (6学时)

主要内容:

1.1复数

1.2复数的三角表示 

1.3平面点集的一般概念  

1.4无穷大与复球面

1.5复变函数

基本要求:

1.1 熟练掌握复数运算，并能灵活应用

1.2 熟练掌握非零复数的三种表示式下的运算，理解辐角的多值性

1.3 理解区域，单连域，多连域与约当曲线的概念

1.4 理解无穷远点

1.5 理解复变函数及其极限与连续性的定义

教学要点:

    掌握复数的三种表示下的运算，区域及其单连域和多连域，复变函数及其极限

第二章 解析函数 (6学时)

主要内容：

2.1 解析函数的概念

2.2 解析函数和调和函数的关系

2.3 初等函数

基本要求:

2.1 理解复变函数的导数及其求导法则，深刻理解解析函数的概念，熟练掌握复变函数可导与解析的方法

2.2 掌握从已知的调和函数求一个解析函数的方法

2.3研究初等单值函数及其与相应的实变初等函数之间的异同

教学要点:

   正确理解复变函数的导数与解析函数的基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉初等函数的定义和主要性质

第三章  复变函数的积分 (8学时)

主要内容：

3.1 复积分的概念

3.2 柯西积分定理

3.3 柯西积分公式

3.4 解析函数的高阶导数 

基本要求:

3.1 理解复积分的定义，熟练掌握复积分计算方法及其性质

3.2 熟练掌握柯西积分定理及其推广

3.3 充分掌握柯西积分公式及其平均值定理

3.4 充分掌握柯西高阶导数公式

教学要点:

  理解复积分定义，熟练掌握柯西积分定理，柯西积分公式及其高阶导数并利用求其复积分

第四章  解析函数的级数表示  (8学时)

主要内容：

4.1 复数项级数

4.2 复变函数项级数

4.3 泰勒级数

4.4 洛朗级数

基本要求

4.1理解复数列极限及其复数项级数并掌握复级数的绝对收敛

4.2 掌握幂级数的敛散性及其和函数的解析性

4.3 掌握泰勒定理并能将其函数展开成泰勒级数

4.4 掌握洛朗定理

教学要点:

   掌握复数序列的极限理论和幂级数的理论以及利用泰勒，洛朗定理将函数展开成幂级数

第五章 留数及其应用(6学时)

主要内容：    

5.1 孤立奇点

5.2 留数

5.3  留数在定积分计算中的应用

基本要求

5.1.深刻理解和掌握孤立点奇点的三种分类法和相应的三类奇点的性质定理；          5.2 .深刻理解留数概念与留数定理，能熟练地应用留数定理计算常见的复积分；

5.3  深刻理解留数在定积分计算中的应用

教学要点:

解析函数的孤立奇点的分类，留数基本定理及其计算复积分和定积分

第八章 傅立叶变换(6学时)

主要内容：

8.1傅立叶变换的概念

8.2单位脉冲函数

8.3傅立叶变换的性质

基本要求：

8.1理解傅里叶变换和逆变换的定义以及常见的函数的傅里叶变换

8.2理解单位脉冲函数的概念，性质及其傅氏变换

8.3理解傅里叶变换的性质；

教学要点:

从周期函数的傅氏级数出发，导出非周期函数的傅氏积分公式，得到傅氏变换，进而讨论了傅氏变换的一些性质及应用

第九章 拉普拉斯变换  (8学时)

主要内容：

9.1拉普拉斯变换的概念

9.2拉氏变换的性质

9.3拉普拉斯逆变换

9.4 拉氏变换的应用及综合举例

基本要求:

9.1理解拉普拉斯变换和逆变换的定义以及常见的函数的拉普拉斯变换

9.2理解拉普拉斯变换的性质

9.3 熟练掌握求拉普拉斯逆变换的方法

9.4掌握拉氏变换在求微分方程方面及其数字信号中的简单应用

教学要点:

拉普拉斯变换和逆变换的定义以及常见的函数的拉普拉斯变换；.拉普拉斯变换的性质；应用拉普拉斯变换的性质求信号函数的拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换的方法。

五、教学方法建议

多采用和高等数学课程中的结论比较的教学方法，让学生自己找出本科程的特点，以及本课程与其他课程的不同之处，多给学生证明本课程的结论。

六、考核方式

闭卷考试

七、其它说明（如习题或作业，实践环节内容和要求）

每章至少完成6-10题

八、选用教材及主要参考书（名称、编著者、出版社、出版时间）

1、教材

《复变函数与积分变换》 李红 谢松法 高等教育出版社 2003

2、参考书

中文参考书

《复变函数》（第四版） 西安交大高数教研室  高等教育出版社

《积分变换》（第四版）东南大学数学系 高等教育出版社2003年第4版　

《复变函数论》（第二版）　钟玉泉  高等教育出版社1988                                       《复变函数》  严镇军  中国科学技术大学出版社  2002

                        习题辅导书

　《工程数学例题与习题》（下）工科数学课程教学指导委员会本科组 高等教育出版社19　 

九、学时分配