2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题 (2)(含解析)

一、单选题

1．已知向量()1,1,0a =r ，则与a

同向共线的单位向量e = （）

A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．()

0,1,0

C ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

D ．()

1,1,0--【正确答案】C

【分析】先求得a 的模，再根据与a

同向共线的单位向量求解.

【详解】因为向量(1,1,0)a =

，

所以a =

所以与a 同向共线的单位向量为：a e a

== ，故选：C.

2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫

⎪⎝⎭

，则(3)D X =（

）A ．10

B ．30

C ．15

D ．5

【正确答案】A

【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布1~5,3X B ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

所以()()1110

151339

D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，

所以2

10

(3)3()9109

D X D X ==⨯

=.故选：A.

3．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（）

A ．1y =

B ．4350x y --=

C ．1y =或3450

x y --=D ．1y =或

4350

x y --=【正确答案】D

【分析】设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论．

【详解】解：由题意可设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，

∴圆心到直线l 的距离

1d =

=，

2340k k ∴-=，

0k ∴=或43

k =

，∴切线l 的方程为1y =或4350x y --=．

故选：D

4．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（

）

A ．86种

B ．种

C ．42种

D ．30种

【正确答案】D

【分析】考虑3，1，1和2，2，1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.

【详解】3，1，1阵型：1333C A 18=；2，2，1阵型.23

3318

C A =甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有3

3A 6=个结果，36630-=.

故选：D.

5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的

中点，则GE GF ⋅

等于（）

A B ．

2

8a C ．

2

4D ．

2

4

a 【正确答案】D

【分析】根据给定条件探求出EF FG ⊥，再借助向量积计算作答.

【详解】因空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，则60CAB CAD ∠=∠= ，22()cos 60cos 600AC BD AC AD AB AC AD AC AB a a ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= ，即AC BD ⊥uuu r uu u r ，

因E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则有//,//EF BD AC GF ，即有EF FG ⊥

，EF FG ⊥，而2a EF FG ==，则45EGF ∠=

，22cos 45||4

a GE GF GE GF GF ⋅=== ，

所以GE GF ⋅ 等于2

4

a .

故选：D

6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，2AC =，

12AA =点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14

CF BC =

，则异面直线BE 与1C F

所成角的余弦值为（

）

A ．

32

B ．12

-

C ．32

D ．1

2

【正确答案】D

【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐

标系，利用向量法，根据111cos ,BE C F

BE C F BE C F

⋅=⋅

即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，

所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB BC =，22AC =12AA =，得2AB BC ==，

所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．

由14CF BC = ，得

11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，所以11

C F C C CF =+= 11(0,0,2),0,0,0,222⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，2)BE =

，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111132

12

2cos ,321

42

4

BE C F

BE C F BE C F

-⋅===⋅⨯+

．故选：D ．

7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）

A ．0.0688

B ．0.0198

C ．0.049

D ．0.05

【正确答案】A

【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.02⨯99%0.0198=，当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.98⨯5%0.049=，

随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为

0.01980.0490.0688+=，

故选:A.

8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物

线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则

||

||

=NQ QF （）

A

B C ．3

D ．2

【正确答案】D

【分析】设出直线MF ，与抛物线联立，可求出M 点坐标，在利用抛物线的定义可得2

M p

MN NF MF x ∴===+

，再利用抛物线的对称性求出FQ ，则||||NQ QF 可求.

【详解】如图：相关交点如图所示，

由抛物线2:2(0)C y px p =>，得(,0)2

p

F ，

则:)2

p MF y x =-

，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=，即()()6230x p x p --=，解得3,26

M A p p x x =

=,60MN l MFx ︒

⊥∠=60NMF ︒=∴∠，又MN MF

=则NMF 为等边三角形22

M p

MN NF MF x p ∴===+=，60OFA NFO ︒=∠=∠，

由抛物线的对称性可得6

Q A p x x ==

，

24,,6233

p p p p QF NQ NF QF ∴=

+=∴=-=||2||

NQ QF ∴

=故选：D.

二、多选题

9．已知双曲线两渐近线的夹角为3

π

，则双曲线的离心率为（）

A ．2

B

C ．3

D 【正确答案】AD

【分析】设双曲线的方程为22

221x y a b

-=得渐近线方程为b y x a =±，根据双曲线的对称性可得

b y x a =的倾斜角为6π或3π，即可得b a 的值，由公式

c e a ==.【详解】设双曲线的方程为22

221x y a b

-=，渐近线方程为：b y x a =±，

根据双曲线的对称性可知：b

y x a =的倾斜角为6

π或

3π

当b y x a =

的倾斜角为6π时，可得tan 6b a π==，

所以3c e a ==，

当b

y x a =

的倾斜角为3

π，可得tan 3b a π=

所以2c e a ===，

所以离心率为2故选：AD.

10．在二项式()8

14x -的展开式中，下列结论正确的是（

）

A ．第5项的二项式系数最大

B ．所有项的系数和为8

3C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为7

2【正确答案】ABD

【分析】由二项式系数的性质可判断A ；令1x =，可得所有项的系数和，可判断B ；所有奇

数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为81722-=，可判断C ，D

【详解】选项A ：二项式()8

14x -展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A 正确；

选项B ：令1x =，可得所有项的系数和为88(431)-=，可知B 正确；选项C ：所有奇数项的二项式系数和为81722-=，C 错误；选项D ：所有偶数项的二项式系数和为81722-=，D 正确.故选：ABD

11．若圆221:(1)2C x y ++=与圆22

2:(1)(1)1C x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的

是（）

A ．MN 所在直线的方程为210x y +-=

B ．MN 的中垂线的方程为210x y -+=

C ．

||MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是

2

C 【正确答案】AB

【分析】两圆方程相减得直线MN 的方程判断A ，两圆连心线为弦MN 中垂线，求出其方程，判断B ，由圆的性质求出弦MN 的长判断CD ．

【详解】由题意两圆方程相减得210x y +-=，此为直线MN 的方程，A 正确；1(1,0)C -，2(1,1)C ，121011(1)2C C k -=

=--，12C C 方程是1

(1)2

y x =+，即210x y -+=，此为MN

的中垂线的方程，B 正确；

2C 到直线MN 的距离为

d =MN =C 错；过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是以线段MN 为直径的圆，而12

MN <，D 错．

故选：AB ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，方程2

2x y +=对应的曲线为E ，则（

）

A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于

B ．曲线E 关于原点中心对称

C ．曲线E

E 上的点到直线4x y +=

距离的最小值为8

【正确答案】ABD

【分析】对于选项A ，作出曲线E

2y +=的图象即可判断；对于选项B

结合中心对称的概念即可判断；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D ，结合点到直线的距离公式即可判断.

【详解】对于选项A ，作出曲线E

2y +=的图

象，

由图可知曲线E

2y +=

2y +=与x 轴

正半轴的交点坐标为

)

，与y 轴正半轴的交点坐标为()0,2

，所以围成的面积为

1

422

⨯=A 正确；对于选项B ，因为点(),x y -，点(),x y -均满足方程，则可得到曲线E 关于原点中心对称，所以选项B 正确；

对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到原点的距离的平方为2

2x

y +，且

2

2

2

2

2

17722244x y y y y y y ⎛

⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，

即曲线E

上的点到原点距离的最小值为，故选项C 错误；对于选项D ，曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到直线4x y +=

距离为

2

21724x d ⎛⎫-+ ⎪=≥

D 正确；

故选：ABD

三、填空题

13．抛物线24x y =-的准线方程为______________.【正确答案】1y =根据抛物线的性质得结论．

【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =．故1y =．

14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．【正确答案】

12

35

【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.

【详解】因为()~15,3,2X H ，所以()122

13

315

1312

21221115141335321P X ⨯⨯

⨯==

=

=⨯⨯⨯⨯C C C ，故答案为:

1235

.15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）

．

【正确答案】4950

【分析】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为1

1C b a --，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，

故()31

1011101,310099

C 495021

A --⨯==

=⨯，故4950.

16．圆锥曲线（英语：conic section ）

，又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.

【正确答案】

2

作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，

点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥，根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，

由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==，所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =，所以在2OMF △中，221

sin 42

MOF ∠=

=，显然230MOF ∠= ，所以60AOQ ∠= ，所以

2

4

1cos 2

OQ OA AOQ =

==∠，即4a =，所以椭圆的离心率为233

42

c e a ===

.故答案为.

3

2

求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；

2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

四、解答题

17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：

（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【正确答案】（1）

310

；（2）1

2.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.

【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，

则()1

3153

5

C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()113211

54310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3

1

10325

P AB P B A P A ===.

18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =

．

(1)证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；(2)求1A 到平面BDE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)证明1B E BE ⊥以及11A B BE ⊥即可得到面面垂直；

(2)先计算平面BDE 的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】（1）当12AA =

时，1B E =

BE ，

所以222

11B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．

又11A B ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，111,A B B E ⊂面11A B E ，所以BE ⊥平面11A B E ，又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．

（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz

，

则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ，

所以()1,1,0DB =

，()0,1,1DE = ，()11,0,2DA = ，

设平面BDE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0

0x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-

．

故1A 到平面BDE

的距离1n DA d n

⋅=

= 19．相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站早4秒，该爆炸声速是1千米/秒，现以A ，B 所在直线为x 轴，A ，B 中点为原点（如图）建立直角坐标系.

（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程；（2）求直线33

33

y x =

+

与曲线C 的交点坐标．【正确答案】（1）双曲线的右支，()22

1245

x y x -=≥；

（2）(8,53.【分析】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又AB =>，利用双曲线定义可得解；

（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：211562560x x --=，求解即可.【详解】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又

AB =>所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上，由24a =，26c =，得2a =，3c =，2225b c a =-=故双曲线C 的方程为：()22

1245x y x -=≥；

（2）联立()2

2

124

537333

x y x y ⎧-=≥⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

，化简整理得：211562560

x x --=解得：8x =或32

11

x =-

（舍去），当8x =时，3y =故直线与曲线的交点坐标为(8,53.

方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：

（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；

（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；

20．如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，

BD DC ⊥，6BC =，43AB =30ABC ∠= ．

(1)求证：AC BD ⊥．

(2)若二面角B AC D --为45 ，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析

【分析】（1）利用余弦定理求出23AC =AC ⊥BC ，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，进而得到△BCD 为等腰直角三角形，32BD =BAD 为直

线AB 与平面ACD 所成的角，利用求出的线段长度，求出直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值.

【详解】（1）因为6BC =，43AB =30ABC ∠= ，所以由余弦定理得：

222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-=222

CB AC AB +=，所以

AC ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，证毕.

（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC ⊥BC ，故∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，所以∠BCD =45°，又因为BD DC ⊥，所以△BCD 为等腰直角三角形，因为BC =6，所以π

sin 324

BD BC =⋅=BD DC ⊥，AC BD ⊥，DC

AC C =，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直

线AB 与平面ACD 所成的角，设为θ，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

，则326

sin 443BD AB θ==.21．棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以长绒棉为主要原材料的均码服装，A

类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．

(1)设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13

．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中

B 类服装的件数，若()0.5(N)P X n n ≤≤∈，求n 的所有可能取值．【正确答案】(1)分布列见解析，B 类服装单件收益的期望大；(2)n 可取的值为0，1，2．

【分析】（1）根据给定的信息，求出ξ，η的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

（2）求出购买了服装的顾客中购买B 类服装的概率，借助二项分布求出n 的各个值对应的概率，再比较判断作答.

【详解】（1）依题意，ξ的可能值为200，170，120，

(200)0.3,(170)0.5,(120)0.2P P P ξξξ======，

ξ的分布列为：

ξ

200170120P

0.3

0.5

0.2

ξ的期望()2000.31700.51200.2169E ξ=⨯+⨯+⨯=，η的可能值为300，255，180，

(300)0.2,(255)0.4,(180)0.4P P P ηηη======，

η的分布列为：

η300255180P

0.2

0.4

0.4

η的期望()3000.22550.41800.4234E η=⨯+⨯+⨯=，

设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-，

()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元），()()12E X E X <，

所以B 类服装单件收益的期望大.

（2）依题意，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，显然2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

511(0)3243

P X ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭，()1

41521101C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭，23

252140(2)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，3

2

3

5

2180(3)C 33243

P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4

1

452180(4)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5

55232(5)C 3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为1104017(2)0.524381P X ++≤=

=<，1104080131

(3)0.5243243

P X +++≤==>，

所以当()0.5(N)P X n n ≤≤∈时，n 可取的值为0，1，2．

22．已知点F 是椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N

两点．当直线l 过C 的下顶点时，l

l 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为

3

2

．(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)当2MF FN =时，求直线l 的方程；

(3)若直线l 上存在点P 满足2

PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．

【正确答案】(1)22

143

x y +=；

20y ±=；

(3)证明见解析，点P 在定直线5

2

x =

上．

【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.

（2）验证直线垂直于y 轴的情况，当直线不垂直于y 轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.

（3）按直线是否垂直于y 轴探讨，利用（2）中信息结合已知等式求解作答.

【详解】（1）令点(c,0)F ，当直线l 垂直于x 轴时，由222222x c b x a y a b

=⎧⎨+=⎩得2

||b y a =

，弦MN 长为2

2b a

，

由OMN 的面积为32得：2123

··22

b c a =，又b c =a =2，b =所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=．

（2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，

即直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为x =ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，

由22

13412

x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()22

34690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，

由2MF FN =，得122y y =-，消去12,y y 得

()

2

2

227293434t t t --=

++，解得t =，

所以直线l 20y ±=.

（3）设00(,)P x y ，当直线l 与x 轴重合时，点P 在椭圆外，即02x +，02x -同号，由2

PM PN PF ⋅=，得()()()2

000221x x x +-=-，解得05

2

x =

，当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122

634t y y t -+=

+，1229

34

y y t -=+，

而10PM y =-，20PN y =-，0PF =，

由点P 在椭圆外，得10y y -，20y y -同号，由2

PM PN PF ⋅=，得()()2

10200y y y y y --=，

整理得()120120y y y y y -+=，即0

2296·03434

t

y t t ---=++，解得03

2y t =

，代入直线l 方程x =ty ＋1，得052

x =，所以点P 在定直线5

2

x =

上．