湖南省师大附中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

数　学

时量：120分钟　满分：150分

第Ⅰ卷(满分100分)

一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若a，b，c是平面内任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不一定成立的是

A．a＋b＝b＋a  B．λ(a＋b)＝λa＋λb

C．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)  D．b＝λa

2．下列命题正确的是

A．若a、b都是单位向量，则a＝b

B．若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形

C．若两向量a、b相等，则它们是起点、终点都相同的向量

D.与是两平行向量

3．cos 12°cos 18°－sin 12°sin 18°的值等于

A.  B.  C．－  D．－

4．函数f(x)＝的最小正周期为

A.  B.  C．π  D．2π

5．设a，b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是

A．|a＋b|≤|a|＋|b|  B．|a|－|b|≤|a＋b|

C．|a|－|b|≤|a|＋|b|  D．|a|≤|a＋b|

6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π)＝

A．－  B.  C.  D．－

7．如图，角α、β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A、B，则·＝

A．sin(α－β)  B．sin(α＋β)

C．cos(α－β)  D．cos(α＋β)

8．已知＜α＜，且sin α·cos α＝，则sin α－cos α的值是

A．－  B.  C.  D．－

9．已知α∈，cos＝，则sin α的值等于

A.  B.  C.  D．－

10．将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

11．设O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈，则点P的轨迹必经过△ABC的

A．外心  B．内心  C．重心  D．垂心

答题卡

12．已知直线x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象上的一条对称轴，则实数φ的最小正值为________．

13．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．

14．已知⊥，·＝1.点P为线段BC上一点，满足＝＋.若点Q为△ABC外接圆上一点，则·的最大值等于________．

三、解答题：本大题共3个小题，共30分．

15．(本小题满分8分)

已知＝1.

(1)求tan α的值；

(2)求tan的值．

16.(本小题满分10分)

已知向量a＝(sin α，1)，b＝ .

(1)若角α的终边过点(3，4)，求a·b的值；

(2)若a∥b，求锐角α的大小．

17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

第Ⅱ卷(满分50分)

一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分．

18．两等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则等于________．

19．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

21.(本小题满分13分)

在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.

(1)求AD的长；

(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝x|x－a|＋bx(a，b∈R)．

(1)当b＝－1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；

(2)当b＝1时，

①若对于任意x∈[1，3]，恒有≤2，求a的取值范围；

②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a)．

湖南师大附中2017－2018学年度高一第二学期期末考试数学参

湖南师大附中2017－2018学年度高一第二学期期末考试

数学参

一、选择题

2．D　【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B.A、B、C、D四点可能共线，故B不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D.因和方向相反，是平行向量，故D对．故选D.

3．A　【解析】cos 12°cos 18°－sin 12°sin 18°＝cos (12°＋18°)＝cos 30°＝，故选A.

4．C　【解析】函数f(x)＝＝＝sin 2x的最小正周期为＝π，故选C.

5．D　【解析】由向量模的不等关系可得：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立．

|a|－|b|≤|a＋b|，故B恒成立．

|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．

令a＝(2，0)，b＝(－2，0)，则|a|＝2，|a＋b|＝0，则D不成立．故选D.

6．B　【解析】根据函数的图象A＝.

由图象得：T＝4＝π，

所以ω＝＝2.

当x＝时，f＝sin＝0，

∴＋φ＝kπ，φ＝－＋kπ.k∈Z.

由于|φ|<，取k＝1，解得：φ＝，所以f(x)＝sin.

则：f(π)＝，故选B.

7． C　【解析】根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，

则A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，

则有·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)；

故选C.

8．B　【解析】∵(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α

＝(sin 2α＋cos 2α)－2sin αcos α；

又∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝，

∴(sin α－cos α)2＝1－2×＝；

得sin α－cos α＝±；

由＜α＜，知则sin α－cos α的值是.故选B.

9．C　【解析】∵α∈(0，)，∴＋α∈，

由cos＝，得sin＝＝，

则sin α＝sin

＝sincos－cossin＝×－×＝.故选C.

10．B　【解析】将y＝3sin的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin，即y＝3sin的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈，k∈Z，即函数y＝3sin 的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin在区间上单调递增，故选B.

11．D　【解析】由题意可得－＝＝λ，

所以·＝λ

＝λ＝0，所以⊥，即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心，故选D.

二、填空题

12．π　【解析】(略)

13．－　【解析】sin α＋cos β＝1，

两边平方可得：sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝1，①，

cos α＋sin β＝0，

两边平方可得：cos 2α＋2cos αsin β＋sin 2β＝0，②，

由①＋②得：2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1，

∴2sin(α＋β)＝－1.

∴sin(α＋β)＝－.

14.　【解析】∵⊥，||·||＝1，建立如图所示坐标系，设B，C(0，t)， ＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，)，∴P(1，)，

∵P为线段BC上一点，∴可设＝λ，从而有＝λ，即解之得t＝.

∴B，C.显然P为BC中点，∴点P为△ABC外接圆圆心．Q在△ABC外接圆上，又当AQ过点P时有最大值为2＝，

此时与夹角为θ＝0°，cos θ＝1.∴＝×＝.

三、解答题

15．【解析】(1)由题意，cos α≠0，由＝1，可得＝1，

即5tan α－1＝1＋tan α，解得tan α＝.(4分)

(2)由(1)得tan 2α＝＝，

tan＝＝－7.(8分)

16．【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r＝＝5，

∴sin α＝＝，cos α＝＝；

∴a·b＝sin α＋sin

＝sin α＋sin αcos＋cos αsin

＝×＋×＋×＝.(5分)

(2)若a∥b，则sin αsin＝1，

即sin α＝1，

∴sin 2α＋sin αcos α＝1，

∴sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α，

对锐角α有cos α≠0，

∴tan α＝1，

∴锐角α＝.(10分)

17．【解析】(1)f(x)＝sinsin x－cos 2x

＝cos xsin x－(1＋cos 2x)

＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(6分)

(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；≤2x－≤π即π≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．(12分)

18.　【解析】＝＝＝.

19．2　【解析】可以将函数式整理为f(x)＝＝1＋，不妨令g(x)＝，易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称．若x＝x0时，函数f(x)取得最大值M，则由对称性可知，当x＝－x0时，函数f(x)取得最小值m，因此，M＋m＝f(x0)＋f(－x0)＝2.

20．【解析】(1)如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM 平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分)

(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，

得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．

依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝.

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(13分)

21．【解析】(1)∵在四边形ABCD中，

AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.

∴由余弦定理得cos 120°＝，

解得AD＝(舍去AD＝－2)，

∴AD的长为.(5分)

(2)∵AB＝AD＝，∠A＝120°，∴∠ADB＝(180°－120°)＝30°，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°.

∵∠BCD＝105°，∠DBC＝30°，∴∠BDC＝180°－105°－30°＝45°，△BCD中，由正弦定理得＝，解得BC＝3－3.(9分)

从而S△BDC＝BC·BDsin∠DBC＝×(3－3)×3×sin 30°＝(－1)．(10分)

S△ABD＝AB×ADsin A＝×××sin 120°＝.(11分)

∴S＝S△ABD＋S△BDC＝.(13分)

22．【解析】(1)当b＝－1时，f(x)＝x|x－a |－x＝x(|x－a|－1)，

由f(x)＝0，解得x＝0或|x－a|＝1，

由|x－a|＝1，解得x＝a＋1或x＝a－1.

∵f(x)恰有两个不同的零点且a＋1≠a－1，

∴a＋1＝0或a－1＝0，得a＝±1.(4分)

(2)当b＝1时，f(x)＝x|x－a|＋x，

①∵对于任意x∈[1，3]，恒有≤2，

即≤2，即|x－a|≤2－1，

∵x∈[1，3]时，2－1>0，

∴1－2≤x－a≤2－1，

即x∈[1，3]时恒有成立．

令t＝，当x∈[1，3]时，t∈[，2]，x＝t2－1.

∴x＋2－1＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3≥(＋1)2－3＝2，

∴x－2＋1＝t2－2t＝(t－1)2－1≤0，

综上，a的取值范围是[0，2]．(8分)

②f(x)＝＝

当0＜a≤1时，≤0，≥a，

这时y＝f(x)在[0，2]上单调递增，

此时g(a)＝f(2)＝6－2a；

当1＜a＜2时，0＜<＜a＜2，

y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2]上单调递增，

∴g(a)＝max，f＝，f(2)＝6－2a，

而f－f(2)＝－(6－2a)＝，

当1＜a＜4－5时，g(a)＝f(2)＝6－2a；

当4－5≤a＜2时，g(a)＝f＝；

当2≤a＜3时，<<2≤a，

这时y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减，

此时g(a)＝f＝；

当a≥3时，≥2，y＝f(x)在[0，2]上单调递增，

此时g(a)＝f(2)＝2a－2.

综上所述，x∈[0，2]时，g(a)＝.(13分)