福建省2021年中考数学试卷(含解析)

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（4分）﹣的相反数是（　　）

A．5 B． C．﹣ D．﹣5

2．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）

A． B．

C． D．

3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．

4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3

6．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

7．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2

C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）

8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）

A．3（x﹣1）＝ B．＝3

C．3x﹣1＝ D．＝3

9．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）

A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2

C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．（4分）|﹣8|＝　   　．

12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　   　．

13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　   　．（结果保留π）

14．（4分）2021年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为　   　米．

15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　   　度．

16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是　   　．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）解不等式组：

18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．

19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．

20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．

（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．

21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．

（1）求∠BED的大小；

（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．

22．（10分）为贯彻落实党关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．

（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

（3）2021年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2021年全面脱贫，当地积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2021年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2021年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．

23．（10分）如图，C为线段AB外一点．

（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．

（1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：＝．

25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；

（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．

2021年福建省中考数学试卷

试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．解：﹣的相反数是，

故选：B．

2．解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．

故选：B．

3．解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，

∴＝，

∴△DEF∽△ABC，

∴＝（）2＝（）2＝，

∵等边三角形ABC的面积为1，

∴△DEF的面积是，

故选：D．

4．解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选：C．

5．解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，

∴CD＝5．

故选：B．

6．解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，

∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，

∴m﹣n的结果可能是2．

故选：C．

7．解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；

B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；

C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；

D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；

故选：D．

8．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．

故选：A．

9．解：∵A为中点，

∴═，

∵AB＝CD，

∴＝，

∴＝＝，

∵圆周角∠BDC＝60°，

∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，

∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，

∴对的圆周角∠ADB的度数是，

故选：A．

10．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，

∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，

当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；

当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；

若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；

若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；

故选：C．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．解：∵﹣8＜0，

∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．

故答案为：8．

12．解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，

∴甲被选到的概率为，

故答案为：．

13．解：S扇形＝＝4π，

故答案为4π．

14．解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，

∴低于海平面的高度记为负数，

∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，

∴该处的高度可记为﹣10907米．

故答案为：﹣10907．

15．解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，

所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，

故答案为：30．

16．解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．

由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．

∵反比例函数的图象在一，三象限，

∴直线AC与直线BD不可能垂直，

∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，

故选项①④正确，

故答案为①④，

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：解不等式①，得：x≤2，

解不等式②，得：x＞﹣3，

则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．

18．证明：四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝AD，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF．

19．解：原式＝•

＝，

当时，原式＝＝．

20．解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，

10x+（100﹣x）×1＝235，

解得，x＝15，

∴100﹣x＝85，

答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；

（2）设利润为w元，销售甲种特产a吨，

w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，

∵0≤a≤20，

∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，

答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．

21．解：（1）连接OB，如图1，

∵AB与⊙O相切于点B，

∴∠ABO＝90°，

∵sinA＝，

∴∠A＝30°，

∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，

∴∠BED＝∠BOD＝60°；

（2）连接OF，OB，如图2，

∵AB是切线，

∴∠OBF＝90°，

∵BF＝3，OB＝3，

∴，

∴∠BOF＝60°，

∵∠BOD＝120°，

∴∠BOF＝∠DOF＝60°，

在△BOF和△DOF中，

，

∴△BOF≌△DOF（SAS），

∴∠OBF＝∠ODF＝90°，

∴DF与⊙O相切．

22．解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：

1000×＝120；

（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：

×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）

＝2.4（千元）；

（3）根据题意，得，

2021年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：

由上表可知当地农民2021年家庭人均年纯收入不低于：

500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470

＞960+1130+1300+1470＞4000．

所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．

23．解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

（2）如图，

∵CD∥AB，

∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，

∴△ABP∽△CDP，

∴＝，

∵AB，CD的中点分别为M，N，

∴AB＝2AM，CD＝2CN，

∴＝，

连接MP，NP，

∵∠BAP＝∠DCP，

∴△APM∽△CPN，

∴∠APM＝∠CPN，

∵点P在AC上，

∴∠APM+∠CPM＝180°，

∴∠CPN+∠CPM＝180°，

∴M，P，N三点在同一条直线上．

24．解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，

在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，

∴∠ADE＝∠B＝45°，

∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．

（2）①DF＝PF．

证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，

在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，

∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，

即∠FPD＝∠FDP，

∴DF＝PF．

②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，

∴∠HPF＝∠DEP，，

∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，

∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，

∴∠DEP＝∠DAC，

又∵∠CDF＝∠DAC，

∴∠DEP＝∠CDF，

∴∠HPF＝∠CDF，

又∵FD＝FP，∠F＝∠F，

∴△HPF≌△CDF（ASA），

∴HF＝CF，

∴DH＝PC，

又∵，

∴．

25．解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，

∴点A（0，10），点B（5，0），

∵BC＝4，

∴点C（9，0）或点C（1，0），

∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．

∴当x≥5时，y随x的增大而增大，

当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，

当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，

∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），

∴10＝5a，

∴a＝2，

∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；

（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），

∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，

假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP），

∴

解得：n＝10，

∵n＝10与已知n≠10矛盾，

∴l1与l2不相交，

∴l2∥l1；

（3）如图，

、

∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，

∴0＝﹣2×1+q，

∴q＝2，

∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，

∴l3∥l1，

∴CF∥AB，

∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，

∴△CEF∽△BEA，

∴＝（）2，

设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，

∴S△ABE＝×t×10＝5t，

∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，

∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，

∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．