离散数学 第2章 习题解答

2.1  本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. 

(1)  令是鸟

      会飞翔.

命题符号化为

.

(2)令为人.

爱吃糖

命题符号化为

或者

(3)令为人.

  爱看小说.

命题符号化为

.

(4)为人.

  爱看电视.

命题符号化为

.

分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的都是特性谓词。

2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为

即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用。若使用，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。

3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。

2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为

其中此命题在中均为真命题。

（2） 在中均符号化为

其中，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。

（3）在中均符号化为

其中此命题在中均为假命题，在(c)中为真命题。

分析  1°命题的真值与个体域有关。

2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题

“人都呼吸”。

在个体域为人类集合时，应符号化为

这里，呼吸，没有引入特性谓词。

在个体域为全总个体域时，应符号化为

这里，为人，且为特性谓词。呼吸。

2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。

（1） 令：是大学生，是文科生，是理科生，命题符号化为

（2）令是人，是化，喜欢，命题符 号化为

（3）令是人，犯错误，命题符号化为

或另一种等值的形式为

（4）令在北京工作，是北京人，命题符号化为

或

（5）令是金属，是液体，溶解在y中，命题符号化为

（6）令与y是对顶角，与y相等，命题符号化为

分析  （2），（5），（6）中要使用2无谓词，用它们来描述事物之间的关系。

2.4 （1）对所有的x，存在着y，使得，在中为真命题，在中为假命题。

（2）存在着对所有的y，都有，在中为真命题，在中为假命题。

（3）对所有x，存在着y，使得，在中均为假命题，而在中为真命题。

（4）存在着x，对所有的y，都有，在中都是假命题。

（5）对所有的x，存在着y，使得在中都是真命题。

（6）存在x，对所有的y，都有，在中为真命题，在中为假命题。

（7）对于所有的x和y，存在着z，使得，在中为真命题，在中为假命题。

2.5  （1）取解释为：个体域（实数集合），为有理数，能表示成分数，在下，的含义为

“对于叙何实数x而言，若x为有理数，则x能表示成分数”，简言之为“有理数都能表示成分数。”在此蕴含式中，当前件为真时，后件也为真，不会出现前件为真，后件为假的情况，所以在下，为真命题。

在在下，的含义为

“对于任何实数x,x既为有理数，又能表示成分数。”

取，则显然为假，所以，在下，为假命题. 

(2) 取解释为:个体域D=N(自然数集合),为奇数,为偶数,在下,的含义为

“存在自然数x,x发既为奇数，又为偶数。”

取，则为假，于是为真，这表明为真命题。

分析 本题说明

这里，表示A与B不等值，以后遇到，含义相同。

在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词（如题中的之后，全称量词后往往使用联结词→而不使用，而存在量词后往往使用，而不使用→，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。

2．6 在解释R下各式分别化为

（1）

（2）

（3）

（4）

易知，在解释R下，（1），（2）为假；，（3）（4）为真。

2．7 给定解释为：个体域D=N（自然数集合），为奇数，为偶数。

（1）在解释下，公式被解释为

“如果所有的自然数不是奇数就是偶数，则所有自然数全为奇数，或所有自然数全为偶数。”因为蕴含式的前件为真，后件为假，所以真值为假。

（2）在下，公式解释为

“如果存在着自然数为奇数，并且存在着自然为偶数，则存在着自然数既是奇数，又是偶数。”

由于蕴含式的前件为真，后件为假，后以真值为假。

分析  本题说明全称量词对析取不满足分配律，存在量词对合取不满足分配律。

2.8  令在A中，无自由出现的个体变项，所以A为闭式。

给定解释：个体域D=N（整数集合），为正数，为负数，，在下，A的含义为

“对于任意的整数x和y，如果x为正整数，y为负整数，则。”

这是真命题。

设解释：个体域D=R（R整数集合），为有理数，为无理数，，在下，A的含义为

“对于任意的实数x和y，如果x为有理数，y为元理数，则。”

这是假命题。

分析  闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I,  使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。而非封闭的公式就没有这个特征。

2.9 取和，则和都是非土产的公式，在中，x, y都是自由出现的，在中，y是自出现的。

取解释I为，个体域D=N（N为自然数集合），为。在I下，为为假，所以在I下，真值不确定，即在I下的真值也是命题。

在I下，为当时，它为真；时为假，在I下的真值也不确定。

分析  非闭式与 闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。

当然非闭式也可以是逻辑有效式（如），也可能为矛盾式（如，也可能不存在其值不确定的解释。

2．10  （1）

      （消去量词等值式）

       （德·摩根律）

                    （消去量词等值式）

（2）

      （消去量词等值式）

       （德·摩根律）

                    （消去量词等值式）

2．11 （1） 令为人。

长着绿色头发。

本命题直接符号化为

]

而   

         （量词否定等值式）

     （德·摩根律）

      （蕴含等值式）

最后一步得到的公式满足要求（使用全称量词），将它翻译成自然语言，即为

“所有的人都不长绿色头发”。

可见得“没有人长着绿色头发。”与“所有人都不长绿色头发。”是同一命题的两种不同的叙述方法。

（2）令是北京人

去过香山。

命题直接符号化为

]

而   

         （双重否定律）

     （理词否定等值式）

      （德·摩根律）

        （蕴含等值式）

最后得到的公式满足要求（只含全称量词），将它翻译成自然语言，即为

“并不是北京人都去过香山。”

可见，“有的北京人没过过香山。”与“并不是北京人都去过香山。”是同一命题不同的叙述方法。

2.12 （1） 

（2） 

   （量词辖域收缩扩张等值式）

（3） 

分析  在有穷个体域内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为中不含x，所以，可以缩小）。否则，演算是相当麻烦的。见下面的演算：

显然这个演算比原来的演算麻烦多了。

2.13 在I下

（1）

所以，在下为假。

（2）

所以，此公式在I下也是假命题。

（3）

   （量词分配等值式）

所以，此公式在I下为真

2．14 （1）

  （量词否定等值式）

   （约束变项换名规则）

    （量词辖域收缩扩张等值式）

（2）

在以上演算中分别使用了德·摩根律、量词否定等值式、约束变项换名规则等。

分析  公式的前束范式是不唯一的。（1）中最后两步都是前束范式，其实也是（1）中公式的前束范式。

2．15  （1）

（2）

在以上演算中分别使用了自由变项换名规则和量词辖域收缩扩张等值式。

2.16  （1）②错。使用UI，UG，EI，EG规则应对前束范式，而①中公式下不是前束范式，所以，不能使用UI规则。

（2）。①中公式为，这时，，因而使用UI规则时，应得（或），故应有而不可能为

（3）②错。应对使用EG规则，其中c为特定的使A为真的个体常项，而不能为个体变项。

（4）②错。①中公式含个体变项x，不能使用EG规则。

（5）②错。①公式含两个个体常项，不能使用EG规则。

（6）⑤错。对①使用EI规则得，此c应使为真，此c不一定使为真。

分析  由于⑤的错误，可能由真前提，推出假结论。反例如下：

设个体域为自然数集合为偶数，为素数，能被3整除，能被4整数，显然此时，

与

均为真，但为假。其实在（6）中，③应为，它是真命题，而为假命题。对使用EI规则，得才为真。所以，对两个公式使用EI规则使用同一个个体常项是会犯错误的。

2.17 

（1）证明

①    前提引入

②                               前提引入

③            ①② 假言推理

④                                 ②EI

⑤                           ④附加

⑥                  ③UI

⑦                               ⑤⑥假言推理

⑧                             ⑦ EG   

（2）证明：

①                              前提引入

②                                 ①EI

③            前提引入

④                  ③UI

⑤                           ②④假言推理

⑥                                ⑤化简

⑦                         ②⑥合取

⑧                      ⑦ EG  

2．18  令是大熊猎。

          产在中国。

欢欢

前提： 

结论： 

证明：

①                    前提引入

②                                前提引入

③                         ①UI

④                                ②③假言推理

2．19令为有理数。

        为实数。

为整数。

前提： 

结论： 

证明：

①    前提引入

②                               前提引入

③            ①② 假言推理

④                                 ②EI

⑤                           ④附加

⑥                  ③UI

⑦                               ⑤⑥假言推理

⑧                             ⑦ EG   

（2）证明：

①                        前提引入

②                          ①EI

③                    前提引入

④                        ③UI

⑤                               ②化简

⑥                                ④⑤假言推理

⑦                               ②化简

⑧                        ⑥与⑦合取

⑨                   ⑧EG

分析  在以上证明中，不能如下进行。

①                      前提引入

②                     前提引入

③                        ②UI

④                        ①EI

至此，可能犯了错误，在③中取则为真，但为假，就是说，由UI规则得到的c不一定满足EI规则，但反之为真，这一点务必注意。

2.20  答案 A：③；  B：②

分析  （7）式为非闭式，在个体域为整数集Z时，的真值不能确定，当时为真，当时为假，所以，它不是命题，其余各式都是命题。（5）虽然不是闭式，但它为真。

2．21  答案  A：②； B：④，⑤，⑨  C：⑦；  D：⑧

分析  注意约束变项和自由变项改名规则的使用。供选答案中，（1）的前束范式只有一个，就是②。而②的前束范式有3个，当然它们都是等值的。（3）的前束范式有2个，就是⑦和⑧。注意，在（3）式中，的辖域为，这就决定了它们的前束范式为

，    （将自由出现的y改名为z）

但由于

所以，⑧也是（3）的前束范式。

2．22 答案   A：⑤。

分析  （1），（4）正确；可以构造证明。

（1）证明：

①                            前提引入

②                                ①EI

③                    前提引入

④                        ③UI

⑤                               ②④假言推理

⑥                            ⑤EG

注意应先使用EI规则。

（4）证明：

①                   前提引入

②                       ①UI

③                             前提引入

④                             ②③拒取式

⑤                          ④UG

(2),(3)推理不正确,只要举出反例即可.

在自然数集合中,令是偶数,是素数,则为真命题,而为假命题,所以, 不是逻辑有效蕴含式,这说明(2)是推理不正确,读者可举反例说明(3)中推理也不正确.

2.23  答案    A: ②  B:①     C: ⑦   D:⑤