命题及其关系、充分条件与必要条件专题梳理及经典练习及答案详解

A组——基础对点练

1．(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)

A．充分而不必要条件　    B．必要而不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

1、解析：由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2　0≤x≤2，

故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.

2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

2、解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

答案：C

3．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)

A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

3、解析：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

答案：D

4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4、解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

5、解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．

答案：D

6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的(　　)

A．充分不必要条件

B．充要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6、解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.

答案：C

7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

7、解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.

答案：D

8．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8、解析：向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.

答案：A

9．(2018·武汉市模拟)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

9、解析：a1＞0，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＜0⇒1＋q＜0⇒q＜－1⇒q＜0，而a1＞0，q＜0，取q＝－，此时a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＞0.故“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．

答案：B

10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

10、解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

11．(2018·南昌市模拟)a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11、解析：因为asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)≤，所以由a2＋b2＝1可推得asin θ＋bcos θ≤1恒成立．反之，取a＝2，b＝0，θ＝30°，满足asin θ＋bcos θ≤1，但不满足a2＋b2＝1，即由asin θ＋bcos θ≤1推不出a2＋b2＝1，故a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.

答案：A

12．(2018·洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

12、解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，

∴m＝±，而当m＝时，m2＋1＝4，

∴“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

答案：A

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的__________条件．

13、解析：由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sin A≤sin B.

答案：充要

14．“x＞1”是“”的__________条件．

14、解析：由，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“”的充分不必要条件．

答案：充分不必要

15．命题“若x>1，则x>0”的否命题是__________．

15、答案：若x≤1，则x≤0

16．如果“x2>1”是“x16、解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，

又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.

答案：－1

B组——能力提升练

1．(2018·湖南十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1、解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由＝，得A＝－B.故选B.

答案：B

2．已知函数f(x)＝3ln(x＋)＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2、解析：由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋)为奇函数，y＝7x＋7－x为偶函数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．故选C.

答案：C

3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3、解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.

答案：A

4．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

4、、解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.故选A.

答案：A

5．若a，b为正实数，且a≠1，b≠1，则“a＞b＞1”是“loga 2＜logb 2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5、解析：当a＞b＞1时，loga 2－logb 2＝－＝＜0，所以loga 2＜logb 2.反之，取a＝，b＝2，loga 2＜logb 2成立，但是a＞b＞1不成立．故“a＞b＞1”是“loga 2＜logb 2”的充分不必要条件，选A.

答案：A

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，则“a3>0”是“数列{Sn}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

6、解析：当a1＝1，a2＝－1，a3＝1，a4＝－1，…时，{Sn}不是递增数列，反之，若{Sn}是递增数列，则Sn＋1>Sn，即an＋1>0，所以a3>0，所以“a3>0”是“{Sn}是递增数列”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

7．“a≤－2”是“函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

7、解析：结合图象可知函数f(x)＝|x－a|在[a，＋∞)上单调递增，易知当a≤－2时，函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.

答案：A

8．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8、解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．

答案：D

9．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

9、解析：取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A.

答案：A

10．(2018·广州测试)已知命题p：∃x＞0，ex－ax＜1成立，q：函数f(x)＝－(a－1)x在R上是减函数，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10、解析：作出y＝ex与y＝ax＋1的图象，如图．当a＝1时，ex≥x＋1恒成立，故当a≤1时，ex－ax＜1不恒成立；当a＞1时，可知存在x∈(0，x0)，使得ex－ax＜1成立，故p成立，即p：a＞1，由函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，可得a－1＞1，得a＞2，即q：a＞2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件，选B.

答案：B

11．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

11、解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝×1×1＝，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为”；若△OAB的面积为，则k＝±1，所以“△OAB的面积为”⇒/ “k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分而不必要条件，故选A.

答案：A

12．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中真命题的序号是__________．

12、解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a>b时a2>b2不一定成立，所以③错误，④中“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，“a<5”是“a<3”的必要条件，正确．

答案：②④

13．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．

13、解析：若函数y＝2x＋m－1有零点，则m＜1；若函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1.

答案：必要不充分

14．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________．

①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题

②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x－1＞0”

③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题

④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题

14、解析：选项①、②中的命题显然正确；选项④中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项④正确；对于选项③中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故填③.

答案：③

15．下列四个结论中正确的个数是__________．

①“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；

②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；

③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；

④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.

15、解析：对于①，由x2＋x－2＞0，解得x＜－2或x＞1，故“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”，故②正确；

对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误；对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，

∴log32与log23不互为相反数，故④错误．

答案：1