2015-2016学年山东省泰安市东平县七年级上学期期中数学试卷.doc

一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的(     )

A．1    B．9    C．3    D．10

2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(     )

A．    B．    C．    D．

3．在△ABC中，D是BC上的一点，且△ABD与△ADC的面积相等，则线段AD为△ABC的(     )

A．高    B．角平分线    C．中线    D．不能确定

4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于(     )

A．75°    B．60°    C．45°    D．30°

5．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是(     )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

6．在△ABC中，如图所示，AD=AE，DB=EC，P为CD、BE的交点，则图中全等三角形的对数是(     )

A．3对    B．4对    C．5对    D．6对

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=(     )

A．40°    B．30°    C．20°    D．10°

8．如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为(     )

A．60°    B．65°    C．75°    D．80°

9．下列图中不是轴对称图形的是(     )

A．    B．    C．    D．

10．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为(     )厘米．

A．16    B．18    C．26    D．28

11．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是(     )

A．3    B．4    C．5    D．6

12．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的(     )

A．三条角平分线的交点    B．三条边的中线的交点

C．三条高的交点    D．三条边的垂直平分线的交点

13．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，若BE+CF=7．则EF=(     )

A．9    B．8    C．7    D．6

14．在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=(     )

A．9    B．18    C．10    D．24

15．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有(     )

A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

16．下列各组数中，能构成直角三角形的是(     )

A．4，5，6    B．1，1，2    C．8，15，17    D．5，12，23

17．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为(     )

A．13    B．8    C．25    D．

18．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是(     )

A．等边三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．锐角三角形

19．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是(     )

A．12米    B．13米    C．14米    D．15米

20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(     )

A．60°    B．120°    C．60°或150°    D．60°或120°

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分。把答案填在题中的横线上。

21．直角三角形的两边长为3、4，则第三边的平方为__________．

22．如图，E点为△ABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于M点，交CN于N点．若MB=6cm，CN=2cm，则AB=__________cm．

23．如图，已知AE∥BF，∠E=∠F，要使△ADE≌△BCF，可添加的条件是__________．

24．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是__________cm．

三、解答题：本大题共5个小题，共48分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。

25．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证：AB=DE．

26．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

27．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

28．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC，能否在△BCE中找到与AB+AD相等的线段，并说明理由．

29．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．试说明：

（1）△ACD与△BCE全等吗？请说明理由．

（2）AF与BE垂直吗？请说明理由．

2015-2016学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的(     )

A．1    B．9    C．3    D．10

【考点】三角形三边关系． 

【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再判断选项是否在此范围内即可．

【解答】解：设第三边长x．

根据三角形的三边关系，得2＜x＜8．

选项C在此范围内，可以作为第三边．

故选C．

【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】三角形的角平分线、中线和高． 

【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．

【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．

3．在△ABC中，D是BC上的一点，且△ABD与△ADC的面积相等，则线段AD为△ABC的(     )

A．高    B．角平分线    C．中线    D．不能确定

【考点】三角形的面积． 

【分析】表示出△ABD与△ADC的面积，可推导出BD=DC，即可解答．

【解答】解：作AE⊥BC，

∵△ABD与△ADC面积相等，

∴BD×AE=DC×AE，

∴BD=DC，

即线段AD一定是△ABC的中线．

故选C

【点评】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形的中线分成的两个三角形的面积相等．

4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于(     )

A．75°    B．60°    C．45°    D．30°

【考点】三角形内角和定理． 

【分析】首先根据三角板可知：∠CBA=60°，∠BCD=45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．

【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，

∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，

故选：A．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三角板得到∠CBA与∠BCD的度数．

5．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是(     )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”．

【解答】解：当①②③为条件，④为结论时：

∵∠A′CA=∠B′CB，

∴∠A′CB′=∠ACB，

∵BC=B′C，AC=A′C，

∴△A′CB′≌△ACB，

∴AB=A′B′，

当①②④为条件，③为结论时：

∵BC=B′C，AC=A′C，AB=A′B′

∴△A′CB′≌△ACB，

∴∠A′CB′=∠ACB，

∴∠A′CA=∠B′CB．

故选B．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．

6．在△ABC中，如图所示，AD=AE，DB=EC，P为CD、BE的交点，则图中全等三角形的对数是(     )

A．3对    B．4对    C．5对    D．6对

【考点】全等三角形的判定． 

【分析】根据等式的性质可得AB=AC，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，然后再证明△DBC≌△ECB，可得CD=BE，再证明△ADC≌△AEB，可得∠1=∠2，然后再依次证明△DBP≌△ECP，△ADP≌△AEP，△ABP≌△ACP．

【解答】解：∵AD=AE，DB=EC，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△BDC和△CEB中，

，

∴△DBC≌△ECB（SAS），

∴CD=BE，

在△ADC和△AEB中，

，

∴△ADC≌△AEB（SSS），

∴∠1=∠2，

在△DBP和△ECP中，

，

∴△DBP≌△ECP（AAS），

∴DP=EP，PB=PC

在△ADP和△AEP中，

，

∴△ADP≌△AEP（SSS），

在△ABP和△ACP中，

，

∴△ABP≌△ACP（SSS），

共5对．

故选：C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=(     )

A．40°    B．30°    C．20°    D．10°

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）． 

【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，

∴∠B=90°﹣50°=40°，

∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，

∵∠CA'D是△A'BD的外角，

∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．

故选：D．

【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．

8．如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为(     )

A．60°    B．65°    C．75°    D．80°

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DAC的度数，从而求得∠AFE的度数，再根据对顶角相等，即可解答．

【解答】解：∵AD为△ABC的高线，

∴∠ADC=90°，

∵∠C=60°，

∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，

∵BE为△ABC的高线，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°﹣∠FAE=90﹣30=60°，

∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），

∴∠BFD=60°，

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟记直角三角形的两个锐角互余．

9．下列图中不是轴对称图形的是(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】轴对称图形． 

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

【解答】解：A、有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；

B、有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项正确；

D、有二条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

10．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为(     )厘米．

A．16    B．18    C．26    D．28

【考点】线段垂直平分线的性质． 

【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．

【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴AE+BE=CE+BE=10，

∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，

故选B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

11．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是(     )

A．3    B．4    C．5    D．6

【考点】勾股定理的证明． 

【分析】先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．

【解答】解：过D点作DE⊥BC于E．

∵∠A=90°，AB=4，BD=5，

∴AD===3，

∵BD平分∠ABC，∠A=90°，

∴点D到BC的距离=AD=3．

故选：A．

【点评】本题利用勾股定理和角平分线的性质．

12．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的(     )

A．三条角平分线的交点    B．三条边的中线的交点

C．三条高的交点    D．三条边的垂直平分线的交点

【考点】线段垂直平分线的性质． 

【分析】由到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点；到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形的三条边的垂直平分线的交点．即可求得答案．

【解答】解：到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点．

故选A．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

13．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，若BE+CF=7．则EF=(     )

A．9    B．8    C．7    D．6

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 

【分析】利用角平分线和平行可证得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，可得到DE=BE，DF=FC，可得到EF=BE+FC．

【解答】解：∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EBD=∠EDB，

∴ED=BE，

同理DF=FC，

∴EF=ED+DF=BE+FC=7cm．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

14．在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=(     )

A．9    B．18    C．10    D．24

【考点】勾股定理． 

【分析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值．

【解答】解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×32=18．

故选B．

【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解决问题的关键．

15．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有(     )

A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 

【分析】由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．

【解答】解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解答本题时要进行多次的尝试验证．

16．下列各组数中，能构成直角三角形的是(     )

A．4，5，6    B．1，1，2    C．8，15，17    D．5，12，23

【考点】勾股定理的逆定理． 

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

B、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

C、∵82+152=172，∴能构成直角三角形，故本选项正确；

D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

17．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为(     )

A．13    B．8    C．25    D．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 

【专题】计算题．

【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．

【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，

解得：x=8．

故选B．

【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．

18．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是(     )

A．等边三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．锐角三角形

【考点】勾股定理的逆定理． 

【分析】对等式进行整理，再判断其形状．

【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．

19．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是(     )

A．12米    B．13米    C．14米    D．15米

【考点】勾股定理的应用． 

【专题】应用题．

【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．

【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC===12米．

故选A．

【点评】此题考查学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题．

20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(     )

A．60°    B．120°    C．60°或150°    D．60°或120°

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 

【专题】分类讨论．

【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．

【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．

故选D．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分。把答案填在题中的横线上。

21．直角三角形的两边长为3、4，则第三边的平方为25或7．

【考点】勾股定理． 

【专题】分类讨论．

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

【解答】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得42+32=x2，所以x2=25；

②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得x2=42﹣32，所以x2=7；

故x2=25或7．

故答案为：25或7．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

22．如图，E点为△ABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于M点，交CN于N点．若MB=6cm，CN=2cm，则AB=8cm．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】先证△CNE≌△AME，得出AM=CN，那么就可求AB的长．

【解答】解：∵CN∥AB，

∴∠NCE=∠MAE，

又∵E是AC中点，

∴AE=CE，

而∠AEM=∠CEN，

在△CNE和△AME中，

，

∴△CNE≌△AME，

∴AM=CN，

∴AB=AM+BM=CN+BM=2+6=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是证明△CNE≌△AME．

23．如图，已知AE∥BF，∠E=∠F，要使△ADE≌△BCF，可添加的条件是AE=BF（此题答案不唯一）．

【考点】全等三角形的判定． 

【专题】开放型．

【分析】要使△ADE≌△BCF，现有条件为二角分别对应相等，只要再添加一边对应相等即可，任意一边都可．

【解答】解：

∵AE∥BF，

∴∠A=∠B，

又∵∠E=∠F，AE=BF，

∴△ADE≌△BCF（ASA）．

故填AE=BF（此题答案不唯一）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

24．如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是20cm．

【考点】轴对称的性质． 

【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．

【解答】解：根据题意，EP=EM，PF=FN，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，

∴MN=20cm．

【点评】主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．

三、解答题：本大题共5个小题，共48分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。

25．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证：AB=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 

【专题】证明题．

【分析】根据平行证出∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，再根据BE=CF得到BC=EF，然后证明△ABC和△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】证明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF．

∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠F，

∵BE=CF，

∴BE+EC=EC+CF，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，根据平行线的性质证明角相等是证明三角形全等的前提．

26．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

【考点】等腰三角形的性质． 

【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．

【解答】解：设∠A=x．

∵AD=BD，

∴∠ABD=∠A=x；

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠BCD=2x，

∴∠DBC=x；

∵x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°．

【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．

27．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 

【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．

【解答】解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，

∴△ABC为直角三角形，

又∵AB=3，BC=4，

∴根据勾股定理得：AC==5，

又∵CD=12，AD=13，

∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，

∴CD2+AC2=AD2，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，

则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．

故四边形ABCD的面积是36．

【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．

28．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC，能否在△BCE中找到与AB+AD相等的线段，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【专题】探究型．

【分析】根据已知条件先利用AAS判定△ADC≌△BCE从而得出AD=BC，AC=BE，所以AB+AD=AB+BC=AC=BE．

【解答】解：在△BCE中与AB+AD相等的线段是BE．

理由：∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，

∴∠D+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=90°．

∴∠D=∠ECB．

∵DC=EC，

∴△ADC≌△BCE（AAS）．

∴AD=BC，AC=BE．

∴AB+AD=AB+BC=AC=BE．

所以在△BCE中与AB+AD相等的线段是BE．

【点评】本题考查三角形全等的判定和性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．找准对应边，利用相等的线段进行转移是解决本题的关键．

29．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．试说明：

（1）△ACD与△BCE全等吗？请说明理由．

（2）AF与BE垂直吗？请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【分析】（1）全等，根据SAS即可证明△ACD≌△BCE；

（2）垂直，根据全等三角形对应角相等即可证明AF⊥BE．

【解答】解：（1）△ACD≌△BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）AF⊥BE．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠BEC=∠ADC，

∵∠ADC=∠BDF，

∴∠BDF=∠BEC，

∵∠BEC+∠EBC=90°

∴∠BDF+∠EBC=90°，

∴AF⊥BE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是△ACD≌△BCE．