初中数学课堂教学的“问题”设计

摘要：初中数学新课程标准中课堂教学从“复习—引入—讲授—巩固”转变为“情境—问题—探究—反思—提高”。因此，可以这样说，课堂教学就是“问题”的教学。本文以新课标和实验教材为例，结合教学实践，针对初中数学课堂教学中的“问题”设计谈几点体会和思考。

 关键词：新课标   初中数学   课堂   问题   设计

新课程理念下的初中数学课堂教学实现了从“复习—引入—讲授—巩固”向“情境—问题—探究—反思—提高”的转变.由此可以看出， “问题”教学已经成为新课程理念下数学课堂教学的“核心”：情景引发“问题”，探究、反思、提高都随着“问题”的发展而深入.换言之，课堂教学实质上就是依据教材内容和学生实际，教师重组旧知,引领学生不断发现问题、研究问题、解决问题的过程.可以这样说，课堂教学就是“问题”的教学，教学“问题”. 

 “问题”从何而来？一方面依据于教材，另一方面取源于学生，但很大部分需要教师的再加工，即通过教师的精心设计产生.那么，如何把握课堂教学中“问题”的设计呢？笔者认为，精心设计课堂教学中的“问题”，必须把握“问题”设计的生活性、层次性、开放性、探究性和拓展性.下面本文以数学新课程标准和实验教材为例，结合教学实践，谈点自己的体会和思考.

一 、“问题”设计的生活性：贴近生活，促进感悟

生活性，就是要求设计的“问题”必须贴近生活.教师通过寻找与学生生活相关的实例，让数学“问题”从生活中走来，再通过数学“问题”的解答将数学知识回归生活.这样，既增强学生的数学意识，又有利于挖掘每个学生自主学习的潜能，这无疑是提高学生学习数学积极性的“活力源泉”.

例如，在教学七年级上册第二章《有理数的乘方》时，我选 “折纸问题”入手.将问题设计为：有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次，厚度为0.1×2毫米，对折10次，厚度是多少毫米？对折20次，厚度又是多少毫米？在实际操作过程中，学生折叠了5次，就难以进行了，10次就更加力不从心.显然，通过已学的知识很难寻找正确答案，同学们表现出寻找一种简便的或新的运算途径的欲望.此时，教师适时引出“乘方”的概念.用乘方表示这个算式：0.1×220，比用20个2连乘简洁明了得多，其值为104.8576米，比30层楼（每层3米）还要高.

学生通过这一案例，不但学习了乘方知识，而且培养了数学兴趣.按老教材的安排，该节内容是以“细胞”问题为案例的.“折纸问题”较“细胞问题”更加直观，更贴进学生生活，有利于调动学生学习的积极性.

二、“问题”设计的层次性：铺设阶梯，逐步深入

学习活动是一个由易到难、由简单到复杂的过程.问题的设置应符合学生的认知规律,循序渐进,采用化整为零、化难为易的办法,把一些较复杂的问题设计成一组有层次、有梯度的小问题,塔好台阶,逐步解决.

例如，在教学八年级上册第三章第二节《直棱柱的表面展开图》，我设计了下面的问题引入新课：

（1）其他条件不变，把B处的糖换成C处，又该如何？

（2）将立方体铁丝框改成立方体纸盒，上述两题结论又该如何？

以上问题是根据课本节前图中杜登尼的著名谜题“蜘蛛和苍蝇”问题改编的.为什么要改编？原因就是“蜘蛛和苍蝇”问题极具挑战性，要求偏高，难度较大.现将谜题稍作改编，设置了有层次性的三个问题，先从铁丝折成的立方体框看蚂蚁所走的路线，让学生观察、比较，发现只能沿铁丝走过.然后将立方体铁丝框改成立方体纸盒，使问题的思维量和思维空间逐步增大，这样能有效促进学生对问题的思考和激发探究新知的欲望.因此，课堂教学取得了良好的效果.

三、“问题”设计的开放性：发散思维，深化认知

数学课程标准强调要尊重学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使不同的人在数学上得到不同的发展.为此,我们要设计开放性的“问题”.它主要有四种表现形式:（1）条件开放；（2）结论开放；（3）条件与结论都开放；（4）策略开放.这类题综合性强，解题方法灵活多样，能够有效地考察学生思维的灵活性、发散性.

例如，在教学八年级下册第二章《一元二次方程的应用》时，我引用了《数学课程标准》中的一个案例：在一个长为50m，宽为30m的矩形空地上建造一个花园，要求种植花园的面积是整块空地面积的一半，请展示你的设计.

这个问题没有统一的构图标准，是结论型开放题.每个学生都可以发挥自己的想象力，按照自己的构思设计出不同的图案，并尽可能使自己的方案定量化，在定量化的过程中，学生体会到一元二次方程在处理数量关系上的作用，认识到解一元二次方程不是机械的计算，得到的结果必须对具体情况有意义，需要恰当地选择解和检验解.

 又如，在学习七年级上册第四章第一节《用字母表示数》时设计这样一个问题：

按照如图方式搭正方形并填空：

策略1：第1个正方形需要4根火柴棒，以后每增加1个正方形增加3根火柴棒，所以n个正方形共需火柴棒[4+3（n-1）]根，即（3n+1）根.

策略2：1个正方形需要4根火柴棒，那么n个正方形照理需要4n根火柴棒，但还需减去每两个正方形重合的1根火柴棒，所以n个正方形共需火柴棒[4n-（n-1）]根，即（3n+1）根.

策略3：第1个正方形左边的1根火柴棒单独计算，以后每1个正方形需要3根火柴棒，所以n个正方形共需火柴棒（3n+1）根.

策略4：把 n个正方形分成3部分看，第1部分为正方形的上面，共需n根火柴棒；第2部分为正方形的下面，共需n根火柴棒；第3部分为搭正方形的左右两侧，共需（n+1）根火柴棒，所以n个正方形共需火柴棒[n+ n+（n-1）]根，即（3n+1）根.

这个问题属于策略开放题，学生可以根据自己原有的认知水平，多角度，多方位地寻找解题策略,有利于培养学生思维的发散性.

四、“问题”设计的探究性：升降有序，支持探究

《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.即提倡教学过程要体现探究性.而要让学生真正地探究性学习，问题设计是关键.所以教师在设计问题时，要使问题具有一定的探究性，以培养学生分析问题、解决问题的能力.探究性问题按探究方向主要可为条件探究题、结论探究题、规律探究题、存在性探究题等.

例 在九年级下专题复习阶段，可以设置以下的探究题：

如图所示, 在平面直角坐标系xOy中, 正方形OABC的边长为2cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且12a+5c=0.

(1)求抛物线的解析式.                                                                                              

(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s 的速度向点C移动.                              

①移动开始后第t秒时, 设S=PQ2(cm2), 试写出 S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围;  

②当S取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

本题以坐标系为背景，用代数的方法研究两个点的运动问题，属于运动型探究题，而“是否存在”又属于存在型探究题.第（1）问求抛物线的解析式，只要确定出y=ax2+bx+c中三个系数的值即可，比较简单.第（2）问的前一个问题从S=PQ2的界定上决定了S与t之间的函数关系式是一个二次函数问题，结合图形根据勾股定理可求出这一关系式.第（2）问的后一个问题是比较复杂的探究题，在假设点R存在的前提下，需分三种情况予以分析，最后得出结论.这样的问题对于培养学生的探究能力、分析问题与解决问题能力是非常有益的，同时还培养了学生考虑问题要全面的思维习惯. 

五、“问题”设计的拓展性：以小见大，揭示规律

学生中不良习惯的表现之一：“眼高手低”.他们往往热衷于大题、难题的习作，疏忽对小题的思考与研究.作为教师适时地从小题研究入手，并进行拓展性的“问题”设计，在师生互动中，让学生取得“以小见大，揭示规律”的教育效果.

例 在教学九年级下第一章第二节《反比例函数的图象和性质》时，我设计了以下的“小”问题：

 如图1，点 P是反比例函数y=12/x的图象上的一点，

过点P分别向x轴、y轴作垂线段PA、PB，垂足

分别为A、B.则矩形OAPB的面积为            .

对于这个“小”问题，得出结论后，我没有马上打住，而是作了以下拓展：

拓展一：如图1，若点P在反比例函数y=12/x的图象运动，则矩形OAPB的面积会变化吗？为什么？

根据原题和拓展一可以得出结论：反比例函数y=k/x图象上任意取一点分别向两坐标轴作垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为  .为了巩固这一结论，我又设计了下面的拓展题：

拓展二：如图2，点P是函数y=k/x图象上的一点，过点P作x轴的垂线段PA，垂足为A，若△OAP的面积4，那么该函数的解析式是 

拓展三：如图3，点P，C是函数y=1/x（x＞0）图象上的任意两点，过点P作x轴的垂线段PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线段CD，垂足为D，连结OC交PA于E，则S△OAP与S梯形CEAD的大小关系是          .

拓展四：如图4，函数y=kx（k≠0）与y=1/x的图象交与P，C两点，过点P作PB⊥y轴，垂足为B，连结BC,则△BOC的面积为             .

拓展五：如图5，两个反比例函数y=1/x，y=2/x

P2008在反比例函数y=2/x的图象上，它们的横坐标

分别是X1，X2，X3，…， X2008，纵坐标是1，3，5，

…共2008个连续奇数，过P1，P2，P3，…，P2008分别作y轴的平行线，与y=1/x的图象交点依次是Q1（X1，Y1），Q2（X2，Y2），Q3（X3，Y3），…，Q2008（X2008，Y2008），则Y2008=            .

以上一系列的拓展题充分利用了双曲线上点的横坐标与纵坐标的积恒等于比例系数的绝对值这一性质.通过这一系列的拓展练习，不仅加深了学生对知识点的理解，同时也培养了学生思维的拓展性.所以，对于一些“小问题”，我们不能浅尝辄止，而应在深刻理解题意的基础上，多层次地挖掘题目的潜能.这样，便能有一题通一类，提高综合运用能力.

当然，在新课程理念下设计数学问题还要遵循其他一些特点，如操作性、导向性、综合性等，但这些特点往往是交叉或渗透在上面几项当中.作为新课程数学问题的主要特性是以上五点.

著名教育家陶行知先生说过：“发明千千万，起点是一问”.只有把问题设计得巧妙精当，才能引导学生进入情境，提高教学效率，更为重要的是可以在潜移默化中提高学生发现问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力.在此良性循环的过程中，学生的思维方法、思维能力、创新意识、创新精神不断得到锤炼与增强，使他们从“学会”逐步走向“会学”.