平均变化率(理)

撰稿人：第一组    审稿人：高二数学组

教学目标：

1.通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

2.通过函数图像直观地导数的几何意义。

3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。

教学重难点：

    导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义

教学过程：

    一、问题情境

      某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”

问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？

问题2：分别计算AB、BC段温差

结论：气温差是否能反映气温变化的快慢程度

问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？

由图像容易来近似地量化B,C之间的曲线更加“陡峭”。陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。

曲线AB、BC段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？

(1)连结BC两点的直线斜率为kBC=

（2）利用斜率来近似地量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在某区间[32,24]上的平均变化率。

气温在区间[1,32]上的平均变化率为：

气温在区间[32,34]上的平均变化率为：

二、建构数学

一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：

说明：

(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”

(2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积

              （单位：   ）计算第一个10s内V的平均变化率。

注：负号表示容器甲中水在减少 

变式1：

　一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水t s容器里水的体积的平均变化率.

例3、已知函数            ，分别计算     在下列区间上的平均变化率： 

（1）[1，3]；（3）[1，1.1]；

（2）[1，2]；（4）[1，1.001]。

例4、已知函数分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率。 

练习：已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： 

（1）[-1，2]；   （2）[-1，1]；    （3）[-1，-0.9]； 

小结：

求函数y = f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：

反思：

问题1：本节课你学到了什么？

①函数的平均变化率的概念；

②利用平均变化率来分析解决实际问题

问题2：解决平均变化率问题需要注意什么？

   ① 分清所求平均变化率类型

      (即什么对象的平均变化率)

   ② 两种处理手段 ：(1)看图     (2)计算