材料力学笔记(惯性矩)

材料力学笔记

一、截面对形心轴的轴惯性矩

矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为

Ix=Iy=bh³/12
	（B.3-4）
	（B.3-5）
Ix=Iy=πR0³t	（B.3-6）

式中，d—实心圆直径和空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。t—薄壁圆壁厚。

惯性矩I量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。

二、截面抗弯刚度EIz和抗弯截面模量Wz

（a）

上式代表距中性层为y处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的ρ对同一横截面来说是个常数， 所以正应变ε与y成正比（上缩下伸），与z无关。式（a）即为横截面保持平面，只绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。

（b）

式（b）表示横截面上正应力沿梁高度的变化规律，即物理方面的关系式。由于式中ρ对同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性模量E也是常数，所以横截面上任一点处的正应力与y成正比（上压下拉） 。显然中性轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力σmax发生在距中性轴最远的上下边缘（图7.2-4）。 

图7.2-4 弯曲正应力分布 

微内力对中性轴z之矩组成弯矩M，即   　　　　（e）

代入式（b），并将常数从积分号中提出，得     。 

令    ，称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方， 此值很容易通过积分求出 。于是得出

（7.2-1）

上式确定了曲率的大小。式中EIz称为截面抗弯刚度（stiffness in bending）。到此为止，式（a）中的y和ρ已经确定。联合式（b）及式（7.2-1），得出

（7.2-2）

上式即为对称弯曲正应力公式。当y=ymax时，得出最大正应力公式，即

（7.2-3）

式中   称为抗弯截面模量（section modulus in bending），其量纲是长度的三次方。

表7.2-I列出了简单截面的Iz和Wz计算公式。表中α=d/D，R0为薄壁圆平均半径。

表7.2-1
截面	矩形	实心圆	空心圆	薄壁圆
Iz
Wz

三、平行轴间惯性矩的移轴公式

图B.3-3

如图B.3-3所示，设y0、z0为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：

，

（B.3-7）

    上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallel axis  theorem）。式中A为截面面积，a和b分别为坐标轴y0和y以及z0和z之间的垂直距离。

如为组合截面，则上式表示为

，

（B.3-8）

读者自行计算下图各截面对z轴的静矩和惯性矩：

图B.3-4

四、极惯性矩

图B.2-1

任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为

（B.2-1）

极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。

1. 定义

2. 圆截面的极惯性矩

图B.2-2

图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图B.2-2），  读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为：

（B.2-2）

（B.2-3）

（B.2-4）

式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。